Динамический синтез систем автоматического управления (стр. 5 из 9)

Составим таблицу, изменяя w от 0 до ∞:

Таблица 1.3

W,	P(w)	Q(w)
0	-10,604	-∞
852,2	0	5,806*10-3
274,2	-0,094	0
	0	0

–– годограф скорректированной системы

- - годограф системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.16 – Годограф Найквиста

Характеристическое уравнение имеет вид:

Все корни характеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутая система на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условие выполняется, значит, замкнутая система устойчива.

Построим годограф Михайлова для системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

(1.13)

Функция Михайлова имеет вид:

(1.14)

Выполним замену S на jw и выделим вещественную и мнимую части соответственно.

.

;

Найдем значения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ∞:

Таблица 1.4

w,	X(w)	Y(w)
0	85.227	0
26.125	0	114.613
79.717	-648.966	0
275.355	0	-13120
816.259	6.473*106	0

–– скорректированной системы

- - системы с пропорциональным регулятором

Рисунок 1.17 годограф Михайлова для замкнутой системы

Годограф Михайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до +

последовательно проходит 5 квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Это свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.

1.4.2 АЧХ “вход- выход системы”, “вход- выход ДОС”, “вход- выход УМ”

Рассчитаем и построим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этого воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим sнаjw и преобразуем данное выражение:

Выделим вещественную и мнимую части соответственно:

Находим

(1.15)

График АЧХ “вход- выход системы” представлен ниже.

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС, которая имеет вид:

Преобразуем данное выражение:

Вещественная и мнимая части соответственно:

(1.16)

Получим модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС:

(1.17)

––– АЧХ «вход- выход ДОС»,

- - - АЧХ «вход- выход системы».

Рисунок 1.18 АЧХ

Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходу УМ имеет вид:

(1.18)

Вещественная и мнимая части соответственно:

Модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу УМ:

Рисунок 1.19 АЧХ вход-выход УМ

1.4.3 Частота среза разомкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, показатель колебательности

Частота среза и запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определим их из рисунка 1.15

ЛАЧХ пересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда w_ср=41.072 с^-1

ЛФЧХ пересекает уровень -180° при lg(w)=2.438 дек. Тогда w_кр=274.35 с^-1

Запас устойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста:

Где h_зап- расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16)

дБ

Запас устойчивости по фазе определим по рисунку 1.15:

φ_зап=φ(w_cp)+180⁰

φ_зап=54,733⁰

Критический коэффициент найдем с использованием критерия Гурвица:

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

(3.1)

Тогда оставим переменным параметр: K.

Получим следующие коэффициенты:

Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия:

1)одинаковость знака всех коэффициентов

2)для системы 5 порядка определитель D4=0

Решая уравнение в пакете MathCad получим следующие результаты:

Показатель колебательности определим по формуле:

,

и N(0) находим по АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС

N(0)=1

N_max=1.239,

Следовательно

.

Сравним результаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3

Таблица 1.5 – Сравнительная характеристика полученных результатов

Lзап, дБ	, o	Ккр	М		tp, с
С регулятором	0,409	0,75	93,3	75,214	95	22,72
С коррекцией	10,6	54,733	431	1.239	18,8	0,147

1.4.4 Оценки прямых показателей качества

Оценим σ и t_p по вещественной частотной характеристике системы.