Базовый процесс обработки вызовов (стр. 11 из 14)

Рисунок 3.3 – Простейший процесс

Соответственно

и – их преобразования Лапласа. В соответствии с [16], преобразованием Лапласа распределения будем называть функцию , определяемую как:

. (3.8)

Если

чисто мнимая переменная, преобразование Лапласа совпадает с характеристической функцией . Областью определения функции обычно считается правая полуплоскость комплексной плоскости. Однако, без существенного ограничения сущности, в рамках проводимого анализа можно рассматривать как действительное положительное число.

Состояние процесса, приведенного на рис. 3.3 опишем с помощью функции распределения момента

-го попадания процесса в -ю вершину: . Тогда, учитывая независимость времен пребывания процесса в вершинах 0 и 1, рассматриваемая последовательность переходов будет иметь вид

, (3.9)

где

– преобразование Лапласа функции .

На основании этих соотношений находят разнообразные характеристики процесса. Так вероятность пребывания процесса в нулевой вершине может быть определена из условия

. (3.10)

Применяя к выражению (3.10) преобразование Лапласа и используя формулы (3.9), получаем

. (3.11)

Если в момент

процесс находится в нулевой вершине, то и формула (3.11) принимает вид

. (3.12)

Определение разложения в ряд функции

делает удобным оценку переходного режима.

Увеличим число вершин графа на единицу (рис. 3.4.). Заметим, что в этом случае процесс блужданий относительно нулевой вершины может быть описан с помощью некоторого эквивалентного процесса, соответствующего переходам на вспомогательном графе изображенном на рисунке 3.5а.

Рисунок 3.4 – Полумарковский процесс с трема состояниями

Рисунок 3.5 – Эквивалентные графы для исследования: а)блужданий относительно нулевого состояния; б) возврата в нулевое состояния; в) блужданий относительно промежуточного состояния

Обозначим через

плотность вероятности времени первого перехода процесса из группы состояний {1,2} в нулевое состояние при начале блужданий из состояний 1. Тогда

. (3.13)

Определим функцию

. Для этого воспользуемся формулами (3.12), записанными для графа, изображенного на рисунке 3.5б:

;

, ,

где

, – преобразования Лапласа дефектных случайных величин времени, проводимого процессом в состоянии 1 перед переходом соответственно в состоянии 0 и 2.

С помощью последних выражений находим преобразование Лапласа распределения времени первого попадания процесса в состояние А для графа, изображенного на рис 3.5б

.

Состояние

в общем случае описывается уравнением вида

, (3.14)

где

– некоторый линейный оператор.

Это уравнение описывает еще одно общее и важное свойство марковских процессов, для которых эволюция вероятности перехода

. Заметим, что это свойство позволяет исследовать поведение марковских процессов при помощи хорошо разработанных методов решения соответствующих дифференциальных уравнений.

Отсюда, учитывая, что начальные условия для рассматриваемого случая

, получаем

.

Теперь из условия

находим необходимую функцию

. (3.15)

Подставляя выражение (3.15) в формулу (3.13), получаем преобразование Лапласа вероятности пребывания процесса в нулевом состоянии

. (3.16)

Для определения функции

рассмотрим блуждания относительно первого состояния и построим для них эквивалентный граф (рис. 3.5в). Здесь преобразования Лапласа времени пребывания в состоянии 1 и вне этого состояния определяется из соотношений

, (3.17)

полученных из условия равенства распределений времени пребывания процесса в состоянии 1 и времени возврата в это состояние для исходного графа (рис. 3.4) и эквивалентного (рис. 3.5в). Разрешая систему уравнений (3.17) относительно неизвестных функций, находим

. (3.18)

Теперь на основе формулы (3.13), учитывая совпадения форм графов, изображенных на рисунке 3.8, а и б, и используя (3.18), находим преобразование Лапласа вероятности пребывания процесса в состоянии 1

, (3.19)

где

.

Функция

в данном случае может быть найдена из условия нормировки . Расположения изображений в ряды по степеням для оценки переходных режимов находим путем применения в формулах (3.16) и (3.19) правил операций над рядами по известных разложениям и .

Дальнейшее обобщение рассматриваемого класса полумарковских процессов проведем на случай однородных блужданий на неограниченном графе переходов, изображенном на рис. 3.6, где

; , т.е. и – функция плотности дефектных случайных величин времени, проведенного процессом в состоянии перед переходом соответственно в состояния и .