Базовый процесс обработки вызовов (стр. 10 из 14)

Рисунок 3.1– Иллюстрация поведения полумарковского процесса

Из приведенного определения следует, что если игнорировать случайный характер времени ожидания и интересоваться только моментами перехода, то процесс

будет представлять собой однородную цепь Маркова (или вложенным марковским процессом). Однако при учете пребывания процесса в разных состояниях в течении случайного отрезка времени процесс не будет удовлетворять уравнению Маркова (если не все времена ожидания распределены экспоненциально). Следовательно, процесс является марковским только в моменты перехода. Сказанное оправдывает название «полумарковский процесс» или «полумарковская цепь».

При заданном начальном состоянии дальнейшее поведение полумарковского процесса (полумарковской цепи) полностью определяется матрицей вероятностей перехода

, , , и матрицей функций распределения или (для непрерывных случайных величин ) матрицей плотностей вероятностей [17].

В рамках исследований полумарковских процессов с позиций теории массового обслуживания наибольший интерес представляет анализ взаимосвязи времени достижения и времени пребывания в состояниях полумарковского процесса. Согласно [16] данный анализ основывается на реализации элементарного процесса чистой гибели. В качестве примера рассмотрим систему

, т.е. однолинейную систему массового обслуживания с ожиданием (буфером неограниченной емкости), в которую поступает простейший поток запросов (вызовов) интенсивности , а время обслуживания запросов (вызовов) имеет показательное распределение с параметром .

Исследуя поведение этой системы, можно установить, что случайный процесс

– число вызовов в системе в момент – является процессом гибели и размножения с вероятностью равной [16]:

, . (3.3)

Анализ данной системы в рамках элементарного процесса чистой гибели основан на исследовании соответствующего графа перехода из одного состояния в другое. Простейший граф перехода имеет вид, показанный на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 – Граф переходов элементарного процесса чистой гибели

Обозначим через

, , вероятность пребывания процесса в состоянии с номером , а через функцию распределения времени первого достижения процессом состояния с номером . Тогда между этими функциями можно установить следующие зависимости:

, .

Подставляя эти выражения в условие формировки

получим

. (3.4)

Следовательно, в рассматриваемом элементарном процессе чистой гибели вероятность пребывания процесса в промежуточном состоянии оказывается равной разности функций распределения времени первого попадания процесса в это состояние и времени попадания в следующее состояние. Добавляя и вычитая в правой части уравнения (3.4), затем помножив полученное выражение на

и про интегрировав сначала по в бесконечных пределах, а затем по частям, получим [18]

, (3.5)

где

– -й начальный момент распределения случайной величины времени попадания процесса в -е состояние . В частности, из формулы (3.5) видно. Что при

. (3.6)

В результате находим, что площадь под кривой

числено равна разности разных средних времен попадания процесса в состояния 2 и 1, а интегральная мера численно равна среднему времени, проведенному процессом в состоянии единицы [18].

Физический смысл полученного результата можно пояснить следующим образом. Обозначим через

случайный момент времени попадания процесса в состояние , а через длительность пребывания процесса в этом состоянии. Тогда для процесса с графом переходов на рис. 3.2, можно составить следующее уравнение баланса времени:

. (3.7)

Возведя выражение (3.21) в квадрат и применив операцию математического ожидания, учитывая при этом независимость случайных величин

и получим аналогичное (3.19) выражение для расчета интегральных мер. Так при находим

.

Аналогичным образом, возводя уравнение (3.7) в степень

всякий раз будем получать выражения для расчета интегральных мер вида через начальные моменты случайной длительности пребывания процесса в состоянии единицы и первого попадания в нее.

В результате определяется полный набор интегральных мер вида

, с помощью которого можно судить о поведении функции .

3.2 Аналитические решения для простейших полумарковских процессов

Описание поведения систем массового обслуживания с помощью распределений моментов первого, второго и последующих достижений системой того или иного состояния, показанных на примере элементарного процесса чистой гибели, оказывается очень полезным в целом ряде практических исследований. Поэтому целесообразно рассмотреть примеры полумарковских процессов, для которых возможно получение подобных результатов в аналитической форме или в виде эффективных вычислительных процедур.

Для начала рассмотрим простейших процесс, имеющий только два состояния (рис. 3.3). Обозначим через

функцию плотности распределения времени пребывания процесса в состоянии 0, а через – в состоянии 1.