Анализ и расчет автоматических систем (стр. 2 из 2)
Рис.8 Структурная схема системы
Рис.9 результат моделирования переходного процесса
Частотный анализ системы
В этом разделе рассмотрена методика построения и анализа частотных характеристик системы в рамках пакета компьютерной математики MathCAD.
Для построения частотных характеристик системы, характеризующих преобразование гармонического сигнала в ней, т.е. позволяющих исследовать систему в режиме вынужденных колебаний перейдем к комплексной частотной характеристики (КЧХ) системы:
.АЧХ системы определяется модулем КЧХ а фазочастотная характеристика - ее аргументом. Комплексное представление о частотных характеристиках системы может дать поведение годографа КЧХ - амплитудно-фазовая характеристика системы. Оценку частотных критериев качества системы следует выполнить на основе графика ее АЧХ.
Расчет и анализ частотных характеристик системы произведем для трех значений параметра k:
1. Вначале определим выражения для АЧХ замкнутой системы и построим их графики. Из графиков видно, что по мере приближения значения коэффициента передачи к критическому значению резонансный пик становится все более ярко выраженным (более высоким и узким). Первый случай (тонкая линия) резонансный пик наблюдается на частоте ω1 =1,78 с-1, второй случай (пунктир) - на частоте ω2 =1,65 с-1, а в третьем случае- на частоте ω2 =1,46 с-1. в третьем случае колебания отсутствуют. Основная полоса пропускания системы ограничена сверху частотой 1,1 с-1. Скрипт документа частотного анализа системы приведен ниже.
2. Для получения информации о фазовом сдвиге в системе построим графики ее ФЧХ или, что более наглядно, графики годографа КЧХ на комплексной плоскости. Видно, что на малых частотах система обеспечивает положительный фазовый сдвиг, который в асимптотике больших частот стремится к значению (-1,5π).
Вычисления приведены в следующем фрагмента MathCAD документа.
Рис. 10. Графики АЧХ
Рис. 10а График КЧХ
Рис.11 График ФЧХ
Расчет переходных процессов в системе
В этом разделе рассмотрены методы расчета переходной функции САУ с последующим анализом качества системы по характеру переходной функции.
Для построения функции переходного процесса, т.е. анализа реакции системы на входное воздействие в виде ступенчатой функции Хевисайда могут быть использованы различные методы.
Если известна передаточная функция замкнутой системы, то переходную функцию h(t) можно рассчитать, решив систему дифференциальных уравнений. При этом форма уравнений определяется знаменателем передаточной функции, а начальные условия вычисляются с помощью соотношений, составленных из коэффициентов числителя её. Недостатком этого метода сложность вычисления начальных условий.
Если известна структурная схема системы и выражения для передаточных функций звеньев, то переходной процесс можно рассчитать, составляя дифференциальные уравнения, описывающие динамику каждого звена по отдельности.
Для расчета переходных процессов при известной передаточной функции замкнутой системы был использован метод обратного преобразования Фурье, предполагающий расчет на основе вещественной частотной характеристики
: 
.Несобственный интеграл сходится, поскольку асимптотически ВЧХ U(w) ®0 при w®
. Для ускорения расчетов обычно обрезают верхний предел интеграла по предельному значению частоты ωе, полученному из анализа формы АЧХ замкнутой системы. Однако этот, достаточно удобный, метод пригоден для расчета переходных процессов только в устойчивых линейных системах и отличается невысокой скоростью сходимости.После составления структурной схемы модели перед запуском вычислительной процедуры подобрали параметры интегрирования системы уравнений (время процесса и шаг интегрирования).
После построения графика переходного процесса следует определили параметры, характеризующие качество переходного процесса: время регулирования (время вхождения регулируемой величины в 5% трубку значений, относительно установившегося значения), динамический заброс и колебательность. Из рис.13 видно, что:
время регулирования составляет - в первом случае -порядка 80,8с, во втором случае - порядка 10,7 с, а в третьем - около 4,2 с;
максимальный динамический заброс - в первом случае равен 1,6, во втором - 1,55, а в третьем - 1,52;
колебательность - в первом случае равна 93%, во втором-53%, а в третьем -25%
Рис.12 Структурная схема, составленная в пакете визуальногомо делирования
Simulink, для расчетов переходных процессов в исследуемой системе.
Рис.13. Результат моделирования переходных процессов для значений варьируемого коэффициента передачи k: 1 - 2.507; 2 - 1.567; 3 - 0.313
Вывод
В данной расчетно-графической работе нами была найдена по заданной структурной схеме и известным выражениям для передаточных функций динамических звеньев передаточная функция замкнутой САУ. В пакетах программ MATHCAD и MATHLAB мы провели исследование устойчивости системы (система оказалась устойчивой); провели частотный анализ системы (построили графики АЧХ, ФЧХ и КЧХ). Затем был произведен расчет переходных процессов в системе, после чего промоделировали переходной процесс для значений варьируемого коэффициента передачи k.