Амплитудная модуляция смещением (стр. 2 из 4)
3.3.1 Математическая модель радиосигнала
Радиосигнал с огибающей в форме видеосигнала находим из соотношения:
, (3.9)где
- математическая модель радиосигнала, В;f0 - частота несущего высокочастотного колебания, Гц;
- начальная фаза колебания, рад.Найдем частоту несущего высокочастотного колебания f0, которая совпадает с резонансной частотой колебательного звена:
(3.10)где
- индуктивность колебательного звена, Гн, 
- значение емкости колебательного звена, Ф.Подставляя численное значение частоты несущего высокочастотного колебания (f0=918,9 кГц), в (3.9) построим график радиосигнала рисунок 3.6.
Рисунок 3.6 - Радиосигнал
3.3.2 Спектр радиосигнала
Для отыскания спектральной плотности радиосигнала воспользуемся соотношением:
, (3.11)где
- спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах, В;Таким образом, подставляя в выражение (3.11) аналитическое выражение для спектральной плотности видеосигнала (3.5) , и принимаем
.Графическое изображение спектральной плотности радиосигнала приведено на рисунок 3.7. Как видно, при достаточно большом значении частоты несущего высокочастотного колебания, спектральная плотность радиосигнала представляет собой две симметричные копии спектра видеосигнала с половинной амплитудой перенесенные на частоту несущего колебания.
Рисунок 3.7 - Спектральная плотность радиосигнала
3.4 Аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу
Аналитический сигнал, соответствующий реальному физическому сигналу
, определяется соотношением: 
, (3.12)где
- функция, сопряженная по Гильберту выходному сигналу; 
- реальный физический сигнал. 
. (3.13)Также аналитический сигнал может быть представлен через модуль аналитического сигнала
, (3.14)и полную фазу
(3.15)в виде
(3.16)Для радиосигнала полную фазу можно записать в форме:
, (3.17)где w0 - частота несущего высокочастотного колебания,
;Q(t) - изменяющаяся во времени фаза, рад; Q0 - постоянная во времени начальная фаза, рад. В этом случае аналитический сигнал
определяется соотношением: 
, (3.18)где
-комплексная огибающая аналитического сигнала, соответствующего радиосигналу, В;Заметим, что комплексная огибающая аналитического сигнала вещественна, то есть не имеет мнимой составляющей и представляет собой видеосигнал (3.2). Поэтому аналитический сигнал, соответствующий радиосигналу можно представить:
Спектральная плотность
аналитического сигнала сосредоточена только в области положительных частот и находится из соотношения: 
, (3.19)где
- спектральная плотность радиосигнала (3.11)Построим график спектральной плотности аналитического сигнала рисунок 3.8.
Рисунок 3.8 - Спектральная плотность аналитического сигнала
3.5 Дискретный сигнал, соответствующий видеосигналу
В соответствии с теоремой Парсеваля полная энергия сигнала равна:
, (3.20)Ограничим спектр исходного видеосигнала некоторой граничной частотой fg, таким образом, что бы энергия сигнала, с «ограниченным спектром» была равна 99% энергии исходного сигнала. Находим граничную частоту по формуле, из условия:
, (3.21)Получаем fg»63,2 кГц.
Если теперь считать, что сигнал имеет спектр, наивысшая частота которого равна fg, то в соответствии с теоремой Котельникова, сигнал может быть полностью определен дискретными выборками, взятыми с частотой 2fg, называемой частотой дискретизации.
Найдем интервал дискретизации Td:
, (3.22)Математическую модель дискретного fd(n) сигнала можно записать в следующем виде:
, (3.23)где
n,k – целые числа;
f(kTd) – выборки из видеосигнала (3.2) кратные интервалу дискретизации;
d(n) – единичный импульс определенный как:
, (3.24)Графическое изображение дискретного сигнала fd(n) приведено на рисунок 3.9.
Рисунок 3.9 - Дискретный сигнал
Для отыскания спектральной плотности дискретного сигнала воспользуемся соотношением:
, (3.25)где
- спектральная плотность видеосигнала (3.5) на соответствующих частотах.Модуль спектральной плотности дискретного сигнала приведен на рисунок 3.10.
Рисунок 3.10 - Модуль спектральной плотности дискретного сигнала, модуль спектральной плотности видеосигнала.
Таким образом, спектр дискретного сигнала периодичен по частоте, с периодом равным частоте дискретизации. Если эффект наложения спектров отсутствует, то в полосе частот от минус половина частоты дискретизации до плюс половина частоты дискретизации, спектр дискретного сигнала равен спектру аналогового сигнала. Для случая приведенного на рисунок 3.11 это условие не выполняется. Поэтому восстановленный сигнал будет искажен рисунок 3.11.
3.6 Сигнал представленный рядом Котельникова
Получить сигнал, определенный в любой момент времени (аналоговый сигнал fa(t)) можно используя интерполяционную формулу:
, (3.26)Данный ряд называется рядом Котельникова и позволяет полностью восстановить аналоговый сигнал fa(t) из дискретных выборок этого сигнала, если сигнал fa(t) имеет ограниченный спектр с максимальной частотой fg, и если выборки взяты с частотой не меньшей 2fg. Поскольку сигнал, подвергнутый дискретизации (3.2), имеет неограниченный спектр (3.5), то восстановление сигнала (3.26) по его выборкам (3.23), будет неточным. Уменьшить ошибку до любого уровня можно увеличивая частоту дискретизации. Сигнал восстановленный с помощью выражения (3.26), приведен на рисунок 3.11.
Рисунок 3.11 - Сигнал представленный рядом Котельникова.
3.7 Выводы
Анализируя формулы и графики, приведенные в разделе 3 можно сделать несколько выводов:
1) Ширина спектра зависит от длительности импульса: чем короче сигнал, тем шире спектр и наоборот.
2) Огибающая спектра периодического сигнала имеет форму спектральной плотности одиночного сигнала.
3) Спектр амплитудно-модулированного радиосигнала представляет собой фактически спектр модулирующего видеосигнала, смещенный по оси частот на (f0)ω0.