Определение. Графом называют тройку G=(M, R, P), где М- множество вершин, R-множество ребер (или дуг графа), Р- предикат инцидентности вершин и ребер графа. Р(x,y,r)=1 означает, что вершины x,yÎM инцидентны (связаны, лежат на) ребру графа rÎR.
Для того чтобы облегчить работу с графом, вершины его обычно нумеруют. Граф с пронумерованными вершинами называется отмеченным.
Каждое ребро графа связывает две вершины, называемые в этом случае смежными. Если граф отмечен, то ребро задается парой (i,j), где i и j – номера смежных вершин. Очевидно, что ребро (i,j) инцидентно вершинам i и j , и обратно.
Если все ребра графа заданы упорядоченными парами (i,j), в которых порядок расположения смежных вершин имеет значение, то граф называется ориентированным. Неориентированный граф не содержит ориентированных ребер. В частично ориентированном графе ориентированы не все ребра.
Геометрически графы изображают в виде диаграмм, на которых вершины отображаются точками, а ребра – отрезками, соединяющими смежные вершины. Ориентированное ребро задают отрезком со стрелкой.
Использование диаграмм настолько распространено, что обычно, говоря о графе, представляют себе именно диаграмму графа. Графы часто задают матрицей смежности (инцидентности). Это квадратная матрица, размерность которой определяется количеством вершин в графе. Если вершины i и j связаны, то значение соответствующего элемента матрицы единица, в противном случае – ноль. Направление дуг графа можно задать, введя дополнительное обозначение (–1) для противоположного направления связи.
Если ребра графа имеют некоторые числовые характеристики связи, то такие графы называются взвешенными. В этом случае матрица инцидентности содержит веса соответствующих связей, знак перед числом определяет направление ребра.
Важной характеристикой структурного графа является число возможных путей, по которым можно пройти от одной вершины к другой. Чем больше таких путей, тем совершеннее структура, но тем она избыточнее. Избыточность обеспечивает надежность структуры. Например, разрушение 90% нервных связей головного мозга не ощущается и не влияет на поведение. Может существовать и бесполезная избыточность, которая в структурном графе изображается в виде петель.
Одна из вершин через серию связей с другими вершинами замыкается на себя, не имея побочного выхода (рис.5). Наличие петель означает нерациональное расходование ресурсов. Обследование большого числа структур различных систем показало, что наличие петель – не такое редкое явление, как может показаться на первый взгляд. Обычно петли могут изыматься из структуры без всякого ущерба для ее функциональных и информационных свойств. Множество подсистем, входящих в петлю, образует изолированную подсистему.
Вопросы и упражнения
1. Что называют графом?
2. Что означает выражение “вершины инцидентны ребру”?
3. Какой граф называют ориентированным? Неориентированным? Частично ориентированным?
4. Как графически изображают графы?
5. Чем графы отличаются от структурных схем? В чем их преимущество перед структурными схемами?
6. Как на графе изображается бесполезная избыточность структуры?
7. Постройте граф для структуры системы “учебная группа”. Какого типа получился граф? Является ли он ориентированным? Взвешенным? Имеются ли в нем петли?
6.3. Классы структур
Выделим три класса структур: иерархические, неиерархические и смешанные. Для иерархических структур характерно наличие управляющих (командных) подсистем. В неиерархических структурах управляющие функции распределены между всеми элементами или группами элементов. Как правило, наличие иерархии является признаком высокого уровня организации, хотя могут существовать и неиерархические высокоорганизованные структуры. В функциональном отношении иерархические структуры более экономны. Избыточность структуры свидетельствует о нецелесообразном расходе ресурсов, который оправдан только в том случае, если целью является дальнейшее развитие системы, ее морфологическая перспектива.
Иерархической называется структура, удовлетворяющая следующим условиям:
1) каждая подсистема является либо управляющей, либо подчиненной, либо (по отношению к разным подсистемам) то и другое одновременно;
2) существует по крайней мере одна только подчиненная подсистема;
3) существует одна и только одна управляющая подсистема;
4) любая подчиненная подсистема непосредственно взаимодействует с одной и только одной управляющей (обратное не верно).
Обычно считается, что управляющая подсистема имеет две или более подчиненных. Иерархическую структуру в которой имеется по крайней мере одна управляющая и одновременно подчиненная подсистема, называют многоуровневой.
Для многоуровневых иерархических структур справедливо следующее:
1) подсистема более высокого уровня имеет дело с более широкими аспектами поведения системы в целом;
2) время преобразования входных компонент метаболизма в выходные увеличивается с увеличением уровня управляющей подсистемы;
3) подсистемы более высоких уровней иерархической структуры имеют дело с более медленными аспектами поведения системы;
4) с повышением уровня подсистем увеличивается удельный вес информационной компоненты метаболизма и ее роль в функциональной деятельности системы.
Неиерархические структуры являются производными от многосвязной структуры, в которой каждая подсистема непосредственно взаимодействует с любой другой.
Неиерархическими называются структуры, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) существует по крайней мере одна подсистема, которая не является ни управляющей, ни подчиненной;
2) не существует подсистемы, которая является только управляющей;
3) не существует подсистемы, которая является только подчиненной;
4) любая подчиненная подсистема непосредственно взаимодействует более чем с одной управляющей (обратное необязательно).
Важная особенность неиерархической структуры состоит в том, что в ней нет подсистем, принимающих независимые от других подсистем решения. Кроме того, неиерархическая структура обычно обладает следующими свойствами:
1) любая подсистема может влиять на все аспекты поведения системы;
2) время преобразования входных компонент метаболизма в выходные слабо зависит от положения подсистемы в структуре;
3) функции подсистем легче изменяются в процессе взаимодействия.
Введем понятие лидерства.
Лидирующей называется подсистема, удовлетворяющая следующим требованиям:
1) подсистема не имеет детерминированного взаимодействия ни с одной подсистемой;
2) подсистема является управляющей (при непосредственном или опосредованном взаимодействии) по отношению к части (наибольшему числу подсистем);
3) подсистема либо не является управляемой (подчиненной), либо управляется наименьшим (по сравнению с другими) числом подсистем.
Лидирующих подсистем может быть больше одной, при нескольких лидирующих подсистемах возможна главная лидирующая подсистема. Подсистема высшего уровня иерархической структуры одновременно должна быть главной лидирующей, если же этого нет, то предполагаемая иерархическая структура либо неустойчива, либо не соответствует истинной структуре системы.
Смешанные структуры представляют собой различные комбинации иерархических и неиерархических структур. Стабильность структуры характеризуется временем ее изменения. Структура может изменяться без преобразования класса или преобразованием одного класса в другой. В частности, возникновение лидера в неиерархической структуре может привести к преобразованию ее в иерархическую, а возникновение лидера в иерархической структуре – к установлению ограничивающей, а затем детерминированной связи между лидирующей подсистемой и подсистемой высшего уровня. В результате этого подсистема высшего уровня заменяется лидирующей подсистемой, либо объединяется с ней, или иерархическая структура преобразуется в неиерархическую (смешанную).
Равновесными называются неиерархические структуры без лидеров. Чаще всего равновесными бывают многосвязные структуры. Равновесность не означает покомпонентной идентичности метаболизма, речь идет только о степени влияния на принятие решений.
Вопросы и упражнения
1. Каким условиям должна удовлетворять иерархическая структура?
2. Какие иерархические структуры называют многоуровневыми?
3. Какие системы описываются многоуровневыми иерархическими структурами?
4. Как связан информационный метаболизм подсистем более низкого уровня с функциональной деятельностью системы? Приведите пример.
5. Проанализируйте структуру системы учебная группа. Является ли она иерархической? Избыточной? Почему?
6. Приведите пример неиерархической структуры системы.
7. Каким условиям удовлетворяют неиерархические структуры? Каковы их свойства?
8. Какая подсистема называется лидирующей? Приведите примеры.
9. Приведите примеры смешанных структур. Равновесных и неравновесных.
Глава 7.Связи
7.1. Классификация связей
Структура реализуется при помощи связей. Связями называются подсистемы (элементы), осуществляющие непосредственное взаимодействие между другими подсистемами (элементами) и не принимающие решений. Связи переносят компоненты метаболизма из одной пространственной области в другую. При этом возможны некоторые преобразования этих компонент. Связи подразделяются на прямые и обратные.
Прямые связи подразделяются на следующие подклассы: