Синтез и анализ аналоговых и цифровых регуляторов (стр. 3 из 5)
Выражение амплетудно – частотной характеристики для системы с ПИД – регулятором будет иметь следующий вид:
. (3.6)Така как частота среза равна трем процентам от нулевого значения, то необходимо решить уравнение следующего вида:
. (3.7)При решении уравнений было получено:
-частота среза для системы имеющей в стоем составе П – регулятор wс = 2.25;
-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИ – регулятор wс = 1.6738;
-частота среза для системы имеющей в стоем составе ПИД – регулятор wс = 3.8194.
Частоту измерений принимают как:
, (3.8)где wc = 3.8194 (наибольшее значение), при котором период квантования равен T0 = 0.411.
Так как полученное значение меньше заданного, то произведем пересчет параметров.
В общем виде дискрктную передаточную функцию искоиого элемента можно записать следующим образом:
. (3.9)В нашем случае выражение (3.9) примет вид:
, (3.10) 
где 
; 
; 
.C учетом этих выражений необходимо пересчитать параметры непрерывных регуляторов в параметры цифровых.
Запишем передаточные функции непрерывных регуляторов:
- П – регулятор
Wp(p) = 1.01; (3.11)
- ПИ – регулятор
; (3.12)- ПИД – регулятор
. (3.13)После вычисления коэффициентов q0, q1 и q2 дискрктные передаточные функции будут иметь вид:
- П – регулятор
; (3.14)- ПИ – регулятор
; (3.15)- ПИД – регулятор
. (3.17)4 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УТРАВЛЕНИЯ ПО КРИТЕРИЮ ДЖУРИ И ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ
 |
При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.
где y – дискретное значение регулируемой величины;
f – заданное значение регулируемой величины;
e – ошибка управления;
u – управляющее воздействие.
Рисунок 4.1 Структурная схема цифровой системы автоматического управления
Так как в системе имеет мести фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией вида:
, (4.1)то с учетом того, что z = e –pT, эту функцию можно записать в следующем далее виде:
. (4.2)Сомножитель 1/р относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведенной непрерывной части может быть записана в следующем виде:
. (4.3)Так как
,переходная фнукция ленейной части системы, то z – передаточную функцию линейной части находим по следующему выражению:
. (4.4)Найдем выражение для передаточной функции линейной части:
. (4.5)Для вычисления h(t) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Необходимо определить полюса. Для этого необходимо найти корни следйющего уравнения:
(
)*р = 0.Решив данное уравнение мы получили , что его корни следующего вида:
p1 = 0;
p2 = - 0,2;
p3 = - 0,33;
p4= -0,25.
Переходная функция линейной части имеет следующий вид:
h(t) = -21,93e-0.2t –4.03e-0.33t +22.86e-0.25t +3.1 . (4.6)
С учетом формулы (4.4) получаем
.После раскрытия скобок и приведения подобных мы получаем равенство в следующем виде:
. (4.7)Результирующая передаточная функция разомкнутой системы может быть определена как произведение передаточной функции приведенной непрерывной чати и передаточной функции цифрового фильтра:
. (4.8)Дискретная передаточная функция замкнутой системы:
. (4.9)Определим значение W3(z) для каждой из систем:
- система с П – регулятором. Wр(z) = 1.01, Wн.ч.(z) – определеня по формуле (4.7), тогда:
; (4.10)- система с ПИ – регулятором.
;Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:
; (4.11)- система с ПИД – регулятором.
,Wн.ч.(z) – определена по формуле (4.7), тогда:
. (4.12)После того , как получим выражение дискрктных передаточных функций для всех систем, проанализируем устойчивость этих систем по критерию Джури.
Критерий устойчивости заключается в следующем.
Пусть задан А(z) – характкристический полином:
A(z) = a0zn + a1n-1 + … + an, a0 > 0.
Введем понятие обратного полинома, получаемого перестановкой коэффициентов исходного в обратном порядке:
A(z) = anzn + an-1n-1 + … + a0.
Разделим A(z) на обратной ему. В итоге получаем частное от деления число q0и остаток А1(z) – полином n-1 степени.
Домножим полученый результат на z-1получаем:
A1(z) = (a0-anq0)zn-1 + … + (an-1-a1q0).
Затем делим остаток A1(z) на обратный ему A10(z) и определяем новое q1 и A2(z)
и т.д.Выполняя деление полиномов Ai(z) на обратные ему Ai0(z), получаем последовательность чисел qi= {q0, q1, q2,…,qn-2}.
Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы является неравенства:
А(1)=(a0+ a1+ a2+…+an)>0;
(-1)nА(-1)=(a0(-1)n + a1(-1)n-1 +…+an)>0;
|qi|<1, i=0,1,2,…,n-2.
Используя выше изложенное, определим устойчивость наших систем.
Система с П-регулятором.
Характеристический полином имеет следующий вид:
А(1)= 1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817=0.003039>0.
(-1)3A(-1)= -(1 - 2.7544 + 2.5359 - 0.7817) >0.
А(z) = z3-2.7544z2+2.5359z - 0.7817
Обратный полином
.Разделим A(z) на A0(z).
 |  |
-(  ) | -0.7817=q0, |q0|<1 |
0,3852z-0,7686z2+0,3888z3
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A1(z)=0,3852-0,7686z+0,3888z2,
A10(z)=0,3888-0,7686z+0,3852z2.
Разделим A1(z) на A10(z).
| 0,3852-0,7686z+0,3888z2 | 0,3888-0,7686z+0,3852z2 |
| -(0,3852-0,7614z+0,3816z2) | 0,99065=q1, |q1|<1 |
-0.00718z+0.00723z2
Домножим полученный результат на z-1, тогда:
A2(z)=0.007238z-0.007187.
В результате расчетов получили, чтоq0, q1, q2 по модулю меньше еденицы, таким образом все три неравенства выполняются. Следовательно цифровая система устойчива.
Система с ПИ-регулятором.
Характеристический полином имеет вид:
Степень полинома n=4. Множество qi= {q0, q1, q2}.