Отличие доказательства, принятого в этой работе, от математического можно проследить при анализе ссылок. Первое положение Архимеда ("если поверхность, рассекаемая любой плоскостью, проходящей через одну точку, всегда дает в сечении окружность круга с центром в той самой точке, через которую проводятся секущие плоскости, то эта поверхность будет шаровой" [10, с. 228]) является чисто математическим и опирается при доказательстве на математическое знание о равенстве радиусов шара. При доказательстве второго положения ("поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли" [10, c. 228]) используются не только первое положение, но также аксиома не математическая по своей природе ("предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилегающих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся под ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь" [10, с. 228]). Кроме того, в этом доказательстве Архимед, не оговаривая, использует положение о равенстве давления частиц жидкости, расположенных на одинаковом расстоянии от центра Земли. Это положение, физическое по своей сути, позволяет Архимеду утверждать, что частицы жидкости, расположенные на одинаковом расстоянии от центра, не придут в движение (отсюда следует, что частицы покоящейся жидкости лежат на одинаковом расстоянии от центра Земли и, следовательно, поверхность такой жидкости имеет форму шара с центром, совпадающим с центром Земли). Таким образом, доказательство второго положения (и, как показывает анализ, всех последующих) включает две группы ссылок: на математические и физические положения (аксиому, или скрытое, или ранее доказанное положение). От физических положений в этих доказательствах Архимед переходит к определенным математическим положениям и наоборот. В результате в каждом доказательстве строится новое физическое положение (знание), включающее в себя определенные математические соотношения, доказанные в математике.
При доказательстве всех своих положений Архимед использует сложные чертежи, изображающие жидкость и погруженные в нее тела. Именно к этим чертежам относятся и математические, и физические положения (знания). На чертежах Архимед демонстрирует различные преобразования идеальных объектов – геометрических фигур и тел, а также идеальной жидкости, в которую погружены правильные тела, и переходит от математических идеальных объектов к физическим. Эти геометрические тела в практике кораблестроения используются как модели разрезов (сечений) кораблей. Собственно говоря, вся теория Архимеда в практическом отношении направлена на выяснение "законов" устойчивости кораблей (переменным параметром в данном случае является форма сечения).
Чем же отличается "техническая" наука Архимеда от современных технических наук классического типа? Казалось бы, и там и тут – реальное обращение к объектам техники и теоретическое описание закономерностей их строения и функционирования. И там и тут налицо применение для этих целей математического аппарата. И там и тут дело не ограничивается лишь реальными объектами техники, изучаются также случаи, мыслимые лишь теоретически, т.е. те, которые конструируются на уровне идеальных объектов, но не воплощены еще в техническом устройстве (опережающая роль науки). Отличие все-таки принципиальное – у Архимеда нет специального языка технической теории, специфических для технической науки онтологических схем и понятий. Сцепление разных языков в его работе достигается за счет онтологической схемы (чертежей), которая еще не превратилась в специфическое, самостоятельное средство научно-технического мышления (как, скажем, позднее, в конце XIX – начале XX веков это произошло со схемой колебательного контура, кинематического звена, четырехполюсника и т.п.).
Завершая анализ техники античной культуры, нужно отметить, что рациональное, философско-научное мышление оказало определенное влияние и на развитие античной технологии. В основе технологического мышления, как правило, лежат рациональные формы и впервые в античной философии и науке для развития технологии формируются адекватные формы осознания. Другой момент – обострившееся под влиянием философии и науки зрение к природным явлениям и эффектам. Развитие наук о равномерном движении, небе, душе, музыке, государстве, плавающих телах и ряд других позволило античным техникам подменить ряд новых природных эффектов и продвинуть вперед технику и технологию в соответствующих областях – строительстве военных машин и кораблей, создании астрономических приборов и музыкальных инструментов, моделировании движений небесных сфер и планет, изобретении механических и водяных игрушек, искусстве управления государством и т.п.