ІСААК НЬЮТОН (1643—1727 pp.)
Ісаак Ньютон народився 4 січня 1643 р. в селі Вулсторп (біля міста Грантема) у родині бідного фермера. Батько помер ще до народження сина. Ісаак був кволою дитиною і ніхто не вірив у те, що він житиме. Коли йому було три роки, мати вдруге вийшла заміж і виїхала з ферми. Дитина залишилась із бабусею, яка докладала всіх сил, щоб найкраще виховати свого хворобливого внука. Першу науку Ісаак проходив у сільській школі, а в 12 років бабуся віддала його до найближчої міської школи у м. Гран-тем. Спочатку Ісаак учився погано і невідомо, як склалася б його доля, якби не випадок, що трапився з ним у школі. Один з його однолітків під час суперечки побив Ісаака. Він дуже переживав, що не може відплатити, бо кривдник був значно сильніший. Тоді Ньютон вирішив зробити інакше: перевершити суперника у навчанні. Невдовзі наполегливою працею він досяг своєї мети: вчителі і навіть директор школи прилюдно визнали його найкращим учнем.
Вже у цей час Ньютон почав цікавитись механікою. У квартирі аптекаря Кларка, де він жив, була невеличка майстерня з повним набором інструментів. Аптекар дозволяв Ньютону користуватись інструментами. Тут і виявились характерні риси майбутнього вченого — кмітливість і винахідливість. J3m виготовляв моделі машин і самі машини: побудував водяний годинник, самохідну карету і оригінальний вітряк, який рухала миша, спеціально для цього приручена. Крім того, він досить добре малював і писав вірші, а також читав багато книжок, які були у бібліотеці аптекаря.
Після закінчення школи Ньютон вступив у 1661 p. до Триніті-коледжу Кембріджського університету. Тут він із захопленням вивчає твори видатних математиків: «Геометрію» Декарта, праці відомого англійського математика Джона Вал-ліса, особливо його трактат «Арифметика нескінченних величин», та інші, слухає лекції професора математики Ісаака Барроу, який мав винятково благотворний вплив на молодого Ньютона. (Наполеглива праця, вдумливі шукання і творчі здібності дали свої наслідки: Ньютон протягом семи років одержував усі наукові ступені університету і в 1668 р. став магістром мистецтв. У зв'язку з епідемією чуми Ньютону довелося майже на 2 роки залишити Кембрідж і переїхати в своє рідне село Вулсторп. У цей період він відкрив закон всесвітнього тяжіння, а також займався розробкою важливих проблем вищої математики.
Повернувшись до Кембріджа, Ньютон продовжує свої наукові дослідження і в 1669 р. подає професору Барроу працю про теорему бінома, трактат про нескінченні ряди і принципи обчислення нескінченно малих. Барроу був вражений дослідженнями молодого Ньютона і побачив у ньому гідного заступника на своїй посаді професора математики. Ньютону було всього 26 років, коли йому запропонували зайняти кафедру математики в Триніті-коледжі Кембріджського університету (1669 p.). Молодий професор ретельно виконував покладені на нього обов'язки, проте весь вільний час віддавав своїм дослідженням.
Коли його праці, передані професорові Барроу, стали відомі широким науковим колам, до Ньютона прийшла слава видатного математика. За пропозицією одного з членів Лондонського Королівського Товариства (Англійська Академія наук) у 1672 р. Ньютона було обрано членом цього Товариства.
Триніті-коледж, де жив і працював Ньютон, вважався релігійним закладом, і всі його постійні співробітники повинні були стати ченцями. Перед Ньютоном постала проблема — або стати ченцем, або залишити посаду професора в університеті. На клопотання колег Ньютона король Карл II, зважаючи на його видатні заслуги, залишив вченого викладачем в університеті. Проте Ньютон втратив право на одержання частини прибутків релігійної університетської корпорації. Щоправда, йому було дозволено одержувати деяку винагороду з фондів, внесених до університету його засновником Генрі Лукасом.
У 1685 р. Ньютона від університетської корпорації обрали депутатом парламенту Англії.
Жив він, як і раніше, в університеті дуже скромно, віддаючи весь свій час науковим дослідженням. Але сталась біда. Внаслідок неуважності виникла пожежа, під час якої згоріла лабораторія і багато записів ученого, зроблених під час досліджень з різних галузей науки. Ця подія так вплинула на здоров'я Ньютона, що він був на грані божевілля. Тепер він рідко бував на засіданнях парламенту, менше займався науковою роботою. Треба було змінити умови життя, і, здавалося, сама доля прийшла йому на допомогу. Один з колишніх студентів Ньютона лорд Монтегю, який був канцлером державної скарбниці запропонував йому (1695 р.) посаду наглядача Монетного двору в Кенсінгтоні поблизу Лондона, а згодом і посаду директора цього двору (1699 p.). Зміна умов і поліпшення матеріального становища цілюще вплинули на здоров'я Ньютона. Тепер, коли життя його змінилось на краще, здавалося б, він знову розгорне свою наукову діяльність. Проте виконання обов'язків директора Монетного двору забирали в нього майже весь час. Наукових досліджень він не облишив, але в другій половині свого життя зробив значно менше, ніж у першій. Однак слава Ньютона, як великого вченого, продовжувала зростати. У 1699 р. його обрали іноземним членом Паризької Академії наук, а в 1703 р.— президентом Лондонського Королівського Товариства. У цьому званні він і залишався протягом двадцяти чотирьох років, аж до кінця свого життя.
Англійський уряд, беручи до уваги наукові заслуги і світову славу Ньютона, виявив своє піклування про нього. У 1705 р. королева Англії Анна, відвідавши Кембрідж, надала Ньютону дворянське звання і нагородила його титулом рицаря. У цей час Ньютон перебував на вершині своєї слави. Всі визнавали його виняткові заслуги в галузі науки і схилялись перед його генієм.
Ньютон зробив визначні відкриття; в галузі механіки, математики і астрономії. Усі найголовніші дослідження він провів у період перебування в Кембріджі. Одним з найвидатніших відкриттів Ньютона був метод обчислення нескінченно малих величин — «метод флюксій» (1665—1666 p.), остаточно оформлений і досконало викладений у вступі до трактату «Про квадратуру кривих» (видано лише в 1704 р. У цьому трактаті Ньютон пише, що він розглядає математичні кількості не як такі, що складаються з дуже малих сталих частин, а як такі, що утворюються неперервним рухом. Лінії описуються неперервним . рухом точок, поверхні — рухом ліній, об'єми — рухом поверхонь, кути — обертанням сторін і т. д. Він помітив залежність між швидкістю наростання «кількості» і «кількістю».
Змінні величини Ньютон назвав флюентами (загальним аргументом їх є час). Швидкості руху флюент, як похідні часу, він назвав флюксіями. Нескінченно малий приріст, якого набуває флюента за нескінченно малий проміжок часу, Ньютон назвав моментом.
Відкриття теорії флюксій було винайденням методів аналізу нескінченно малих величин, або диференціального і інтегрального числення.
У теорії флюксій було розв'язано дві основні взаємно обернені задачі.
Пряма задача. У термінології механіки — визначення швидкості руху в певний момент часу, якщо задано шлях. У математичній термінології — визначення співвідношення між флюксіями за заданим співвідношенням між флюентами. Це задача диференціювання неявної функції і знаходження диференціального рівняння.
Обернена задача. У термінології механіки — визначення пройденого шляху за певний час, якщо задано швидкість руху. У математичній термінології — визначення співвідношення між флюентами за певним співвідношенням між флюксіями. Це задача інтегрування диференціальних рівнянь.
У 1671 р. Ньютон переробив і науково обґрунтував теорію флюксій, маючи намір опублікувати її. Але видана вона була лише після його смерті у 1736 р.
Одночасно з Ньютоном і незалежно від нього ці дві задачі досліджував видатний німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716рр.).
Ще до Ньютона і Лейбніца визначні математики — Архімед, Вал-ліс, Кавальєрі, Ферма, Роберваль, Барроу та ін. у своїх працях розробляли питання, пов'язані з теорією нескінченно малих величин, але тільки Ньютону і Лейбніцу пощастило розв'язати їх блискуче.
Свій мемуар Лейбніц опублікував у 1684—1686рр.
Титанічна праця двох великих учених поклала початок нової епохи у розвитку математики. Справдилася віковічна мрія вчених-математиків винайти єдині, узагальнюючі методи розв'язування задач, що приводять до потреби оперувати з нескінченно малими величинами.
Це, зокрема, такі задачі, як знаходження площ круга і параболічного сегмента, поверхонь і об'ємів тіл обертання — циліндра, конуса, кулі та ін. Caмe «метод вичерпування» став передосновою нових винаходів. Але потрібно було близько двох тисяч років, щоб геніальні математики Лейбніц і Ньютон довели цей метод до логічного завершення у формі диференціального та інтегрального числень. Лейбніц говорив: «Хто оволодів творчістю Архімеда і Аполлонія, менше дивуватиметься відкриттям найвидатніших людей нашого часу». Ньютон свої думки висловив так: «Якщо я бачив далі, ніж інші, то це тому, що я стояв на плечах гігантів».
Кому ж з цих двох учених належить пріоритет у винайденні диференціального та інтегрального числень? З цього приводу в 1676 р. між Ньютоном і Лейбніцем почалося листування, з якого видно, що Ньютон не претендував на першість. Проте суперечки між науковими колами Німеччини й Англії не припинялись. На прохання Лейбніца питання було передано на розгляд Лондонському Королівському Товариству. Спеціальна комісія Товариства вирішила його на користь Ньютона.
Сучасна теорія диференціального та інтегрального числень принципово не відрізняється від теорії, сформульованої Ньютоном і Лейбніцем. Із змістом і формами цієї теорії можна ознайомитись за будь-яким підручником з математичного аналізу для вищої школи, а в спрощеному елементарному викладі - за підручником з математики для X класу середньої школи. У математичному трактаті про біном Ньютон виклав основні відомості про розклад бінома (a+b)n. Цей розклад тепер у шкільному курсі математики відомий під назвою формули Ньютона. Перші відомості про біном для цілих додатних показників, не більших за 18, були відомі і до Ньютона. Заслуга Ньютона полягає в тому, що він відкрив новий спосіб знаходження біноміальних коефіцієнтів і застосував його до розкладу з дробовим і від'ємним показником степеня. Досліджуючи процес розкладу бінома, Ньютон прийшов до необхідності вивчення властивостей нескінченних рядів. Свої висновки він виклав у двох невеликих працях, в одній з яких було подано метод розв'язування рівнянь 3-го степеня з числовими коефіцієнтами способом поступових наближень (він застосовується в алгебрі й тепер).