Жизнь и научная деятельность О. Л. Коши (стр. 3 из 3)

Нет слов, почётные титулы великого математика Коши вполне им заслужены на научном поприще. Но приведём в заключение ещё одно высказывание, касающееся людей науки. «Если человек трудится только для себя, — писал К. Маркс, — он может, пожалуй, стать знаменитым учёным, великим мудрецом, превосходным поэтом, но никогда не сможет стать истинно совершенным и великим человеком».

4. Достижения в науке

В геометрии он обобщил теорию многогранников, дал новый способ исследования поверхностей второго порядка, интересные исследования касания, выпрямления и квадратуры кривых и установил правила приложения анализа к геометрии.

В анализе Коши первый усмотрел огромное значение мнимого переменного и возможность его геометрического представления, дал новые формулы конечных разностей для интерполирования, в своих работах об определенных интегралах он дал основание для многих последующих работ по двояко-периодическим функциям, положил основания теории подстановок, дал прочные основания теории сходимости рядов, нашел правило для определения числа корней уравнения между данными пределами, дал способ интегрирования уравнений с частными производными.

В механике заменил понятие о непрерывности материи понятием о непрерывности геометрических переменных, исследовал движение световой волны в условиях двойного преломления, дал знаменитую теорию волн на поверхности тяжелой жидкости.

В физике дал общее уравнение движения светового эфира, установил законы преломления и отражения, не прибегая к сомнительным гипотезам.

В астрономии дал новый способ вычисления движения планет.

Коши написал более 700 мемуаров., полный список которых помещен в книге Валсона: "Le baronAug. С", а также в "Каталоге" лонд. королевского общества. Из более крупных сочинений К. известны: "Memoire sur les integrales definiesprises entre des limites imaginaires", "Lecons sur le calculdifferentiel", "Memoire sur la resolution des equations numeriques etsur la theorie de l'elimination", "Memoire sur la theorie de lalamiere", "Exercices mathematiques". Парижская академия наук издает его"Oeuvres completes". На русский яз. переведены: "Алгебраический анализ" (Лпц. 1864), "Краткое изложение дифференциального и интегрального исчислений" (СПб. 1831; перев. В. Буняковского).

Что касается математики – вклад О.Л.Коши имеет огромное значение:

1) КОШИ ЗАДАЧА, одна из осн. задач теории дифференциальных уравнений,

впервые систематически изучавшаяся О. Коши. Заключается в нахождении решения и (х, t); x = (х₁,..., х_n) дифференциального ур-ния вида:

где Go - носитель начальных данных - область гиперплоскости t = to пространства переменных x₁ ..., х_n. Когда F и fn, k - 0, ..., т -1, являются аналитич. функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в нек-рой области G пространства переменных t, x, содержащей G₀, всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), напр, в том случае, когда ур-ние (1) принадлежит эллиптич. типу. При неаналитич. данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться рассмотрением того случая, когда ур-ние (1) является гиперболическим.

2) КОШИ ИНТЕГРАЛ, интеграл вида

где гамма - простая замкнутая спрямляемая кривая в комплексной плоскости и f(t) - функция комплексного переменного t, аналитическая на гамма и внутри у. Если точка z лежит внутри гамма, то К. и. равен f(z), т. о., любая аналитич. функция может быть посредством К. и. выражена через свои значения на замкнутом контуре. К. и. впервые рассмотрен О. Коши (1831).

Обобщением К. и. являются интегралы типа Коши; они имеют тот же вид, но кривая у не предполагается замкнутой и функция f(t) не предполагается аналитической. Такие интегралы по-прежнему определяют аналитич. функции; их значения на гамму отличаются, вообще говоря, от функции f(t). Систематич. изучение их было начато Ю. В. Сохоцким и впоследствии продолжалось гл. обр. русскими и советскими математиками (Ю. Г. Колосов, В. В. Голубев, И. И. Привалов, Н. И. Мусхелишвили) как в направлении дальнейших обобщений, так и для приложения к вопросам механики.

3) КОШИ НЕРАВЕНСТВО, неравенство для конечных сумм, имеющее вид:

Одно из важнейших и наиболее употребит, неравенств. Доказано О. Коши (1821). Интегральный аналог К. н. установлен рус. математиком В. Я. Бундковским (см. Буняковского неравенство), интересное обобщение К. н. сделано нем. математиком О. Гёльдером (см. Гёлъдера неравенство).

4) КОШИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, специальный вид распределения вероятностей случайных величин. Введено О. Коши', характеризуется плотностью характеристич. функция

К. р.- унимодально и симметрично относительно точки х = и, являющейся его модой и медианой. Ни один из моментов К. р. положит, порядка не существует. На рис. дано К. р. при мю = 1,5, лямбда = 1.

Распределение Коши: а - плотность вероятности; 6 - функция распределения.

5) КОШИ ТЕОРЕМА о разложении аналитической функции в степенной ряд.

Пусть f(z) - функция, однозначная и аналитическая в области G; z₀ - произвольная (конечная) точка области G и р - расстояние от Zo до границы этой области. Тогда существует степенной ряд, расположенный по степеням z - Zo,

сходящийся в круге

и представляющий в этом круге функцию f(z):

Граница области G может сводиться к бесконечно удалённой точке; в этом случае р следует считать равным бесконечности. Эта теорема была установлена О. Коши (1831), исходившим из представления аналитической функции в виде Коши интеграла.

6) КОШИ - АДАМАРА ТЕОРЕМА, теорема теории аналитич. функций,

позволяющая судить о сходимости степенного ряда

где a₀, a₁,..., a_n - фиксированные комплексные числа, a z - комплексное переменное. К.- А. т. гласит: если верхний предел

то при р= 00 ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при р = О ряд сходится только в точке z = Z₀ и расходится при z <> z₀; наконец, в случае, когда 0<р< оо ряд абсолютно сходится -в круге |z - z₀| <р и расходится вне этого круга. Эта теорема была установлена О. Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.

7) КОШИ - РИМАНА УРАВНЕНИЯ в теории аналитических функций,

дифференциальные ур-ния с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции w = и + iv комплексного переменного z = х + iу:

du/dx = dv/dy, du/dy = - dv/дх. Эти ур-ния имеют осн. значение в теории аналитических функций и её приложениях к механике и физике; они впервые были рассмотрены Ж. Д'Аламбером и Л. Эйлером, задолго до работ О. Коши и Б. Римана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив биографию, научную деятельность и достижения французского математика О.Л.Коши, мы можем сделать вывод, что ученый внес неоценимый вклад в развитие науки. Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Его работы относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. Коши дал определение понятия непрерывности функции, предела функции в точке, чёткое построение теории сходящихся рядов, определение интеграла как предела сумм и др. В работах по теории упругости он рассматривал тело как сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией, относимой к каждой точке. В работах по оптике Коши дал математическую разработку теории Френеля и теории дисперсии. Коши принадлежат также исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Бобынин В. В., Огюстен Луи Коши. (Очерк его жизни и деятельности), "Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем", 1887, т. 3, № 1-3;
Маркушевич А. И., Очерки по истории теории аналитических функций, М.- Л., 1951.
http://ega-math.narod.ru/Singh/Cauchy.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/Коши_О.