Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі
Поняття геометричного місця точок у просторі (ГМТ) має велике методичне і загальноосвітнє значення. Неможливо переоцінити його роль у розвитку просторової уяви.
Розв'язування задач, в яких застосовуються геометричні місця точок як на площині, так і в просторі, активізують творчу думку і фантазію, розвивають логічне мислення, кмітливість, змушують перебирати в пам’яті всі відомі теореми з метою відбору і застосування найбільш придатної з них.
Однак, між ГМТ на площині і ГМТ у просторі є принципова різниця.
У планіметрії ГМТ можна побудувати за допомогою креслярських інструментів. Наприклад, коло побудувати за допомогою циркуля, пряму, промінь, відрізок - за допомогою лінійки.
У стереометрії не існує реального інструмента ''сферографа", щоб побудувати у просторі сферу або лінію перетину двох сфер, якщо вона існує.
Звичайно, ці побудови можна здійснити на проекційному кресленні, але виконання їх у більшості випадків громіздке, потребує багато часу і неабияких креслярських знань і навичок.
У просторі доводиться обмежуватись "уявним" проведенням прямих, площин, сфер тощо. Можливість таких побудов встановлюється певними аксіомами.
Що ж таке геометричне місце точок у просторі?
На площині ГМТ визначається так:
Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.
Якщо на площині розглядається геометричне місце тільки точок, то у просторі можна розглядати геометричні місця не тільки точок, але й ліній (як прямих, так і кривих), і тому можна дати таке означення ГМТ у просторі:
Геометричним місцем точок у просторі називається деяка фігура, що складається з усіх об’єктів простору, положення яких задовольняє одній або кільком певним умовам.
У цьому формулюванні замість слова "точка" застосовується термін “об’єкт”, бо це більш широке поняття і включає в себе не тільки точки, але й лінії. При цьому часто одну і ту ж геометричну фігуру можна розглядати як геометричне місце точок і як геометричне місце ліній.
Наприклад, площини α1, α2, паралельні площині β і віддалені від неї на відстань a, є:
- геометричне місце точок простору, віддалених від площини β на відстань a;
- геометричне місце прямих простору, паралельних площині β і віддалених від неї на відстань a;
- геометричне місце кривих, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань a;
- геометричне місце фігур, які лежать у площині, паралельній даній площині і віддаленій від неї на відстань а.
Циліндрична поверхня, утворена обертанням прямої навколо паралельної їй прямої АВ і віддаленої від неї на відстань a, є:
- геометричне місце точок простору, віддалених на відстань a від даної прямої АВ;
- геометричне місце прямих простору, паралельних даній прямій АВ і віддалених від неї на відстань a;
- геометричне місце кіл радіуса a, центри яких лежать на даній прямій АВ, а їх площини перпендикулярні до АВ;
- геометричне місце рівних еліпсів, центри яких знаходятся на прямій АВ, а їх площини утворюють з прямою АВ один і той же кут α.
Геометричні місця у просторі надзвичайно різноманітні. Деякі з них є природним узагальненням геометричних місць на площині, є ніби їх стереометричними аналогами (наприклад, сфера є стереометричний аналог кола, площина - аналог прямої тощо).
При переході до вивчення просторових геометричних місць точок доцільно пригадати основні геометричні місця точок на площині. Причому отримані результати зручно подати у вигляді таблиці.
| Геометричні місця точок | |
| На площині | У просторі |
| 1 | 2 |
| 1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є коло радіуса a з центром у точці О.2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є круг з центром у точці О радіуса a.3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є прямаl, яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є точка О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС.5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є дві прямі min, паралельні прямій l і віддалені від неї на відстань a.6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є пряма c – вісь симетрії цих прямих, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні прямі min– бісектриси вертикальних кутів, утворених при перетині даних прямих, якщо a xb = 0. Зауваження.Поверхня гіперболічного параболоїда може бути описана прямою, яка при своєму русі перетинає дві мимобіжні прямі a, b і залишається весь час паралельною до - площини їх паралелелізму.7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, є: точка0, якщо axbx с = 0 ; дві точки M,N, якщо a||b, с перетинає їх (M,N – точки перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими); чотири точки K,L,M,N– центри вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = bxc, B = axc,C = axb), або Æ, якщо прямі a,b,с паралельні. | 1. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної точки О на відстань, рівну a, є сфера радіуса a з центром у точці О.2. Геометричне місце точок, відстань яких від даної точки О не перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є площина , яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l.6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є площина b, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні щини a, b, які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a іb, якщо a xb = 0, або гіперболічний параболоїд, якщо a іbмимобіжні.7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, які лежать в одній площині a, є: пряма m, яка проходить через точку 0 = a xbx с і перпендикулярна до площини a, дві прямі m,n, які перпендикулярні до площини a і проходять черезточки M,N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими; якщо a||b, с перетинає їх; чотири прямі k,l,m,n, перпендикулярні до площини a в точках K,L,M,N – центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = bxc, B = axc, C = axb), або Æ, якщо прямі a,b,с паралельні. |
Зауваження. Якщо три прямі не лежать в одній площині, то можливі випадки, які на площині не мають аналогів.
а) Прямі перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.
Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, що перетинаються в одній точці і не належать одній площині, є чотири прямі, які проходять через цю точку.
Для побудови цих прямих розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих a, b. Це будуть дві цілком визначені площини , β (г.м.т. 6). Аналогічно геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих b, c, будуть площини γ, δ (г.м.т. 6); від прямих a, c – площини і (г.м.т.6). Площини α, β перетинаються з площинами γ, δ, і по чотирьом прямим k, l, min, які проходять через точку перетину трьох даних прямих a, b, c. Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а,b, c,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.
б) Прямі a, b, c паралельні між собою і не лежать в одній площині.
Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m, паралельна до даних.
Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.
Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.
8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини α на відстань a, є дві площини γ і β, паралельні до α і віддалені від неї на відстань a.
Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.
9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин α і β, є площина ζ, якщо дані площини паралельні, або дві площини γ, δ, якщо дані площини перетинаються, причому:
- ζ – площина, паралельна до площин α та β і ділить відстань між ними
навпіл.
- γ, δ – перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами α та β.