| 1. Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точку А з точками даної прямої l.Таким ГМТ є пряма, паралельна даній і віддалена від неї на відстані r(A, l).2. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даної прямої в даній точці.Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола в даній точці.Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола і дану точку.4. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що дотикаються до даної прямої.Таким ГМТ є дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.5. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох даних паралельних прямих. Таким ГМТ є вісь симетрії даних прямих.6. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дані точки А і В.Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.7. Знайти геометричне місце вершин трикутників, рівновеликих даному трикутнику АВС, які мають з ним спільну основу АВ.Таким ГМТ є дві прямі, паралельні основі АВ і віддалені від неї на відстань hc, що дорівнює довжині висоти трикутника АВС. 8. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що проходять через точку О.Таким ГМТ є коло з центром О радіуса R.9. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з точки А на прямі, проведені через точку В. Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок АВ.10. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце точок, кожна з яких симетрична з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.Таким ГМТ є коло з центром у точці В радіуса АВ.11. Знайти геометричне місце середин хорд кола з центром О, проведених через точку А, розташовану всередині кола.Таким ГМТ є коло, діаметром якого є відрізок ОА.12. Знайти геометричне місце середин хорд даного кола, паралельних даній прямій АВ.Таким ГМТ є діаметр кола (без його кінців), перпендикулярний до прямої АВ.13. Дано коло радіуса r. Знайти геометричне місце точок, симетричних до його центру відносно кожної точки цього кола.Таким ГМТ є коло радіуса 2r, концентричне з даним.14. Знайти геометричне місце точок, відстань яких до даного кола радіуса r дорівнює a. Таким ГМТ є коло радіусаr1 = r + a, концентричне з даним.15. Знайти геометричне місце середин рівних хорд даної довжини a, проведених в даному колі радіуса r (a < 2r).Таким ГМТ є коло радіуса r1 = , концентричне з даним.16. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса r, що дотикаються до кола з центром О радіуса R (r < R).Таким ГМТ є два концентричніз даним кола радіусів r1 =R + r, r2 =R–r.17. Знайти геометричне місце точок таких, щоб відрізок дотичної, проведеної з цих точок до даного кола з центром О радіуса r, мав довжину a. Таким ГМТ є коло радіуса r1 = ,концентричнез даним.18. На колі радіуса r взято точку О, навколо якої обертається пряма, що перетинає коло у змінній точці В. На цій прямій по обидва боки від точки В відкладаються відрізки ВМ1 = ВМ2 = АВ, де А – другий кінець діаметра, який проходить через точку О.Знайти траєкторію точок М1 і М2 при обертанні прямої ОВ.Таким ГМТ є два кола радіуса r, які перетинаються у точцах Aі О. Центри їх розміщені у діаметрально протилежних точках даного кола, симетричних відносно прямої ОА. 19. Дано точки А, В. Два кола дотикаються до прямої АВ, одне – в точці А, друге – в точці В і дотикаються одне до одного в точці М. Знайти геометричне місце точок М.Якщо через М провести спільну дотичну до цих кіл, то вона перетне АВ у точці С, причому СА = СВ = СМ. Отже, трикутник АМВ – прямокутний з гіпотенузою АВ, тобто геометричним місцем точок М є коло діаметра АВ без точок А та В.20. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дану точку А і дотикаються до даної прямої l.Таким ГМТ є парабола з фокусом А і директрисою l.21. Дано дві точки А та В. Знайти геометричне місце точок М, для яких трикутник АМВ прямокутний.Трикутник прямокутний, тоді виконується одна з умов: Ð АМВ = 900, Ð МАВ = 900, Ð МВА = 900. Звідси слідує, що шуканим ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):- коло з діаметром АВ,- пряма lA, яка проходить через точку А перпендикулярно до АВ;- пряма lB, яка проходить через точку В перпендикулярно до АВ.22. Дано трикутник АВС. Знайти геометричне місце точок М, для яких площа кожного з трикутників АВМ, АСМ, ВСМ менша площі трикутника АВС.Таким ГМТ є внутрішня область трикутника АВС. | Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точку А з точками даної площини a.Таким ГМТ є площина, паралельна даній і віддалена від неї на відстані r(A, α).2. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до даної площини в даній точці.Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної площини в даній точці.3. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до даної сфери в даній точці.Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даної сфери і дану точку.4. Знайти геометричне місце центрів сфер радіуса R, що дотикаються до даної площини.Таким ГМТ є дві площини, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.4'. Знайти геометричне місце центрів сфер (кіл) радіуса R, що дотикаються до даної прямої.Таким ГМТ є циліндрична поверхня радіуса R, віссю якої є дана пряма.5. Знайти геометричне місце центрів сфер, які дотикаються до двох даних паралельних площин. Таким ГМТ є площина симетрії даних площин.6. Знайти геометричне місце центрів сфер (або кіл), які проходять через дані точки А і В.Таким ГМТ є площина симетрії точок А і В.7. Знайти геометричне місце вершин тетраедрів, рівновеликих даному тетраедру ДАВС, які мають з ним спільну основу АВС.Таким ГМТ є дві площини, паралельні площині АВС і віддалені від неї на відстань hd, що дорівнює довжині висоти тетраедра DАВС. 8. Знайти геометричне місце центрів кіл (сфер) радіуса R, що проходять через точку О.Таким ГМТ є сфера з центром О радіуса R.9. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з точки А на прямі, проведені через точку В. Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок АВ.10. Дано дві різні точки А і В. Знайти геометричне місце точок, кожна з яких симетрична з точкою А відносно деякої прямої, яка проходить через точку В.Таким ГМТ є сфера з центром у точці В радіуса АВ.11. Знайти геометричне місце середин хорд сфери з центром О, проведених через точку А, розташовану всередині сфери.Таким ГМТ є сфера, діаметром якої є відрізок ОА.12. Знайти геометричне місце середин хорд даної сфери, паралельних даній прямій АВ.Таким ГМТ є точки, розташовані всередині великого круга, площина якого перпендикулярна до прямої АВ.13. Дано сферу радіуса R. Знайти геометричне місце точок, симетричних її центу відносно кожної точки цієї сфери.Таким ГМТ є сфера радіуса 2R, концентрична з даною.14. Знайти геометричне місце точок, відстань яких до даної сфери радіуса R дорівнює a. Таким ГМТ є сфера радіусаR1 = R + a, концентрична з даною.15. Знайти геометричне місце середин рівних хорд даної довжини a, проведених в даній сфері радіуса r (a < 2r).Таким ГМТ є сфера радіуса r1 = , концентрична з даною.16. Знайти геометричне місце центрів сфер радіуса r, що дотикаються до сфери з центром О радіуса R (r < R).Таким ГМТ є дві концентричні з даною сфери радіусів r1=R+r, r2=R-r.17. Знайти геометричне місце точок таких, щоб відрізок дотичної, проведеної з цих точок до даної сфери з центром О радіуса r, мав довжину a. Таким ГМТ є сфера радіуса r1 = , концентричназ даною.18. На сфері радіуса r взято точку О, навколо якої обертається пряма, що перетинає сферу у змінній точці В. На цій прямій по обидва боки від точки В відкладаються відрізки ВМ1 = ВМ2 = АВ, де А – другий кінець діаметра, який проходить через точку О. Знайти траєкторію точок М1 і М2 при обертанні прямої ОВ.Таким ГМТ є поверхня тора, що описується одним із кіл радіуса r і центрами, розміщені у діаметрально протилежних точках сфери, симетричних відносно прямої ОА, навколо прямої ОА . 19. Дано точки А, В. Два кола, розташовані в одній площині з АВ, дотикаються до прямої АВ, одне – в точці А, друге – в точці В і дотикаються одне до одного в точці М. Знайти геометричне місце точок М.Таким ГМТ є сфера, побудована на діаметрі АВ без точок А та В.20. Знайти геометричне місце центрів сфер, які проходять через дану точку А і дотикаються до даної площини a.Таким ГМТ є параболоїд обертання з фокусом А і директоріальною площиною a.21. Дано дві точки А та В. Знайти геометричне місце точок М, для яких трикутник АМВ прямокутний.Таким ГМТ є об'єднання трьох фігур (без точок А та В):- сфера з діаметром АВ,- площина aA, яка проходить через точку А перпендикулярно до АВ;- площина aB, яка проходить через точку В перпендикулярно до АВ.22. Дано тетраедр DАВС. Знайти геометричне місце точок М таких, що об’єм кожного з тетраедрів МАВС, МАСD, МАВD, МВСD менший об’єму тетраедра DАВС.Таким ГМТ є внутрішня область тетраедра DАВС. |