Расчет по минеральным удобрениям (стр. 2 из 4)

2.2.Исчисление средних.

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности . Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Существуют две категории средних величин:

степенные средние ( к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и др. )

структурные средние ( мода и медиана ).

Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных.

Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет степенной невозможен или нецелесообразен.

Расчет медианы по не сгруппированным данным производится следующим образом:

а). Расположим индивидуальные значения признака в возрастающем порядке:

Х1,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6,Х7,Х8,Х9,Х10,Х11,Х12

б). Определим порядковый номер медианы по формуле:

n+1

№ Ме =

2 12+1

в нашем случае № Ме = =6.5

Это означает, что медиана расположена между шестым и седьмым значениями признака, так как ряд имеет четное число индивидуальных значений.

В). Рассмотрим порядок вычисление медианы в случае нечетного числа индивидуальных значений

Х1,Х2,Х3,Х4,Х5,Х6,Х7,Х8,Х9,Х10,Х11

Находим номер медианы: 11+1

№ Ме = = 6

на шестом месте стоит Х6 который и является медианой.

Модой называется наиболее часто встречающаяся величина признака. Поскольку мода является величиной конкретной, она имеет важное значение для характеристики структуры изучаемой совокупности. Так, например, наряду со средними размерами заработной платы или средней выработкой большое значение имеют данные о наиболее часто встречающейся з/плате или выработке.

Определение моды зависит от того, в каком ряду представлен варьирующий признак. Если варьирующий признак представлен в виде дискретного ряда распределения , то для определения моды не требуется ни каких вычислений. В таком ряду модой будет значение признака, которая обладает наибольшей частотой.

Если значения признака представлены в виде интервального вариационного ряда, то моду определяют расчетным путем по формуле:

(f2 - f1 )

Мо = Хо+d

( f 2 - f1 ) + ( f 2 - f 3 )

где Мо - Мода

Хо - начало (нижняя граница) модального интервала (с наибольшей численностью);

d - величина интервала (модального);

f 1 - частота интервала предшествующего модальному;

f 2 - частота модального интервала;

f 3 - частота интервала , следующего за модальным;

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности , если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение в экономических расчетах и в практике статистического исследования.

1) Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной

А=А при А-const.

2) (нулевое) . Алгебраическая сумма линейных отклонений (разностей) индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

S = (X_i -X) =Sd_i=0

i=1

n для первичного ряда и

S = (X_i -X) * fi =S d_i* f_i = 0 для сгруппированных данных

i=1

( d_i - линейные ( индивидуальные ) отклонения от средних, т.е х_i - х_i )

Это свойство можно сформулировать следующим образом :

сумма положительных отклонений от средней равна сумме отрицательных отклонений.

Логически оно означает, что все отклонения и в ту и в другую сторону, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.

3) (минимальное).

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть минимальное:

_{n n n}

S = (X_i -X)²=S d _i²= min или S = (X_i -X)²=S ( х_i-А )² где

^{i=1 i=1 i=1}

А= Х ± S, что означает: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака каждой единицы совокупности от средней арифметической всегда меньше суммы квадратов отклонений вариантов признака от любого значения (А), сколь угодно мало отличающегося от средней у выбранной единицы исследуемой совокупности.

Минимальное и нулевое свойства средней арифметической применяются для проверки правильности расчета среднего уровня признака; при изучении закономерности изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уровня регрессии; при изучении корреляционной связи между признаками.

Средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.

Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:

Х_гарм.=___n______ где, n- число индивидуальных значений

_n 1 признака.

S -----

^{i=1 Х i}

Однако в статистической практике чаще используют среднюю гармоническую взвешенную. Она используется при расчете общей средней из средних групповых.

Среднюю гармоничную взвешенную определяют по формуле:

S * w_i

ⁱ⁼¹

Х = _n-------

S w_i

^{i=1 Xi}

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляет собой правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака.

Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных признаков вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. И находят по формуле:

________

d= Ö S (C-C)²

^{----------------}

Формула взвешенного среднего квадратического отклонения следующая:

___________

d=Ö S(C-C)²*f

¾¾¾¾¾¾ где, f- веса.

2.3.Вариационное исследование статистических данных.

Средняя арифметическая сама по себе недостаточна для обобщающей характеристики совокупности. В средней отражаются общие условия, присущие всей данной совокупности. Но не отражаются индивидуальные , частные условия, порождающие вариацию у отдельных единиц совокупности.

Между тем изучение вариации ( отклонений индивидуальных значений от средней ) имеет большое значение. Во-первых, показатели вариации служит характеристикой типичности, надежности самой средней. Чем меньше вариация, тем средняя более показательна, типична, и на оборот, чем больше индивидуальные значения признака варьируют, колеблются вокруг средней, тем она менее типична; во-вторых, они служат для характеристик и равномерности работы предприятий и их подразделений; в-третьих, изучая вариацию, можно выявить связи и зависимости между явлениями.

Для обобщающей характеристики колеблемости (вариации) используют следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю из абсолютных величин отклонений всех значений от их средней арифметической.

Среднее линейное отклонение (не взвешенное ) определяется по формуле:

S(C-C)

l= ¾¾¾¾ при этом не обращается внимание

n на знаки « + » и « - ».

Средние линейное отклонение дает лишь приближенную характеристику вариации.

Формула взвешенного среднего линейного отклонения имеет вид:

S(C-C)f

l = ¾¾¾¾

Sf где f - веса.

Размах вариации представляет собой разность между наибольшими и наименьшими значениями признака ( Хmax - X min ). Необходимо иметь виду, что размах вариации зависит только от двух крайних значений признака, поэтому он недостаточно отражает его колеблемость.

Коэффициент вариации применяется при изучении колеблемости различных по своему характеру признаков и расчитывается как отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

V = ¾¾ * 100

Вариация признака происходит под влиянием случайных и систематических причин. Поэтому наряду с общей вариацией различают вариацию , вызванную действием случайных причин, и вариацию систематическую , вызванную действием систематических причин.