Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05.13.17 «Теоретические основы информатики» (стр. 21 из 29)
Элементы теории нечетких множеств и n-арной логики. Нечеткие алгоритмы.
Нечетким множеством
, по Заде, называется множество, определенное на произвольном непустом множестве Х как множество пар вида: 
Множество Х называется базовым множеством или базовой шкалой (если множество Х линейно упорядочено).
Функция
называется функцией принадлежности множества .Величина
для каждого конкретного 
называется степенью принадлежности элемента х нечеткому множеству . Принято, что в нечеткое множество не входят элементы , имеющие = 0. Подмножество 
, содержащее все те элементы , для которых > 0, называется носителем нечеткого множества .Пример. В рейтинговой системе оценки знаний по каждой дисциплине задается некоторая базовая шкала баллов (обычно используется шкала [0, 1000] ), на которой задаются интервалы, дающие студенту право на получение оценки "отлично", "хорошо", "удовлетворительно", "неудовлетворительно". Фактически эти интервалы выступают как носители нечетких множеств "отлично", "хорошо", "удовлетворительно", "неудовлетворительно", так как за разные баллы из одного и того же интервала преподаватель ставит одну и ту же оценку с разной степенью уверенности. На рисунке приведены графики функций принадлежности оценок, характеризующие степень уверенности некоторого преподавателя в оценке знаний студента по дисциплине в зависимости от величины набранного им по рейтингу балла.
Приведенный пример показывает, что функция принадлежности нечеткого множества (понятия) формируется субъективно и может иметь для одного и того же понятия различный вид у разных субъектов и даже у одного и того же субъекта при различных обстоятельствах и настроениях.
Нечеткие высказывания. Высказывание
называется нечетким высказыванием, если допускается, что может быть одновременно истинным и ложным (в отличие от аристотелевской логики, где такая возможность исключается). Любое оценочное суждение, основанное на неполных или недостоверных данных, является нечетким и сопровождается обычно выражением степени уверенности (или сомнения) в его истинности. Например, утверждение: "Наверное, завтра похолодает".Мера истинности нечеткого высказывания
определяется функцией принадлежности 
, 
, заданной на множестве Х= {"ложь", "истина"}.При таком определении нечеткого высказывания несомненно истинное A("истина")=1mвысказывание характеризуется функцией принадлежности A("ложь")=0). Соответственно, несомненно ложное высказываниеm(или A("истина")=0 (илиmхарактеризуется функцией принадлежности A("ложь")=1). Нечеткие высказывания, характеризующиеся равной степеньюm A("ложь")=0.5), называютmA("истина")=0.5 и mуверенности и сомнения ( нечетко индифферентными.
В дальнейшем, во избежание путаницы, будем говорить лишь о мере истинности нечетких высказываний, если не оговаривается иное толкование. Кроме того, для упрощения записи, будем обозначать, как это принято в обычной ("четкой" логике), меру истинности нечеткого высказывания тем же симоволом, что и само высказывание (например, A("истина")=0.8 будем писать =0.8). mвместо
Логические операции над нечеткими высказываниями. Нечеткие высказывания могут быть простыми и составными. Составные высказывания образуются из простых с помощью логических операций, часто называемых в логике также логическими связками из-за их роли в предложениях естественного языка. Так в обычной речи часто употребляются слова не, и, или, и словосочетания если …то…, тогда и только тогда, равносильно, соответствующие основным логическим операциям математической логики.
В отличие от традиционной математической логики, в нечеткой логике этим операциям придается специфический смысл. Причем, в зависимости от области применения, этот смысл может быть различным. Например, при изучении случайных явлений целесообразно степени уверенности рассматривать как вероятности и тогда логические операции над нечеткими высказываниями приобретают смысл известных операций над вероятностями случайных событий. Здесь будет рассматриваться интерпретация логических операций над нечеткими высказываниями, предложенная основоположником нечеткой логики Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) и применяемая, преимущественно, в тех случаях, когда нечеткость высказываний обусловлена неполнотой информации о предмете суждения. Речь пойдет о так называемой минимаксной логике Заде.
Отрицанием нечеткого высказывания называется нечеткое высказывание , степень истинности которого определяется выражением: = 1 - . Отсюда следует, что степень ложности равна степни истинности .
Конъюнкцией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание & , степнь истинности которого определяется выражением: & =min( , ). То есть степень истинности нечеткого высказывания & определяется наименее истинным высказыванием.
, степеньÚДизъюнкцией нечетких высказываний и называется высказывание =max( , ). То естьÚистинности которого определяется выражением: степень истиннос определяется наиболееÚти нечеткого высказывания истинным высказыванием.
®Импликацией нечетких высказываний и называется нечеткое высказывание =max(1- , ).®, степень истинности которого определяется выражением: формуле®Это определение импликации основано на равносильности формулы . Ú
Эквиваленцией (эквивалентностью) нечетких высказываний и называется , степень истинности которого определяется«нечеткое высказывание В=min(max(1- , ), max( , 1- )). Это определение эквиваленции«выражением: )® формуле ( «основано на равносильности формулы & ). ®(
0.5³ «Нечеткие высказывания и называются нечетко близкими, если (т.е.степень эквивалентности высказываний не ниже 0.5), нечетко 0.5. £ « =0.5, и нечетко неблизкими, если «индифферентными, если
В составных высказываниях порядок выполнения введенных логических операций определяется скобками, а при отсутствии скобок - в следующем порядке: , &. «, ®, Ú,
Пример. Вычислите степень истинности составного нечеткого высказывания при условии, что входящие в него простые нечеткие высказывания имеют значения степеней истинности =0.7, =0.4, C=0.9, а формула =( & Ú & (®) & ). Если вы правильно используете определения логических операций над нечеткими высказываниями и будете следовать принятому порядку их применения при отсутствии скобок, то вы получите =0.4.
Введенные выше определения, как уже было сказано, представляют собой так называемую минимаксную интерпретацию логических операций над нечеткими высказываниями, предложенную Лотфи Заде. Существуют и другие интерпретации.
В математической логике логические операции , & в совокупностиÚ, составляют функционально полную систему логических операций. Это значит, что любое высказывание может быть описано логической формулой, составленной из простых высказываний с использованием конечного числа только этих логических операций. Аналогичным свойством по отношению к нечетким высказываниям обладает этот набор логических операций в интерпретации Заде.
Нечеткие логические формулы и их свойства. Нечеткое высказывание, степень истинности которого может принимать произвольное значение из интервала [0, 1], Заде называет нечеткой логической переменной. В определении понятия нечеткой логической формулы логические переменные и их значения (константы из интервала [0, 1]) считаются простейшими нечеткими логическими формулами, а само понятие нечеткой логической формулы вводится индуктивно.
Нечеткой логической формулой называется:
а) нечеткая логическая переменная или константа из интервала [0, 1];
б) всякое выражение, построенное из нечетких логических формул применением любого конечного числа логических операций (связок);