Решение матричных игр (стр. 1 из 2)
Оглавление
2. Задание. 3
3. Краткие теоретические сведения. 4
4. Реализация программного средства.12
4.2 Листинг программного кода. 12
5. Пример работы программы.. 20
Выводы.. 21
Используемые программные средства. 22
1. Цель работы
Необходимо разработать программное средство для решения матричных игр.
программа матрица игра итерационный листинг
2. Задание
1. Задать матрицу игры вручную и случайным образом.
2. Найти оптимальные стратегии игроков, используя итерационный метод и методом чистых стратегий.
3. Сделать возможность сохранять матрицу игры и загружать из файла.
3. Краткие теоретические сведения
Постановка общей задачи теории игр
Теория игр – математическая теория конфликтных ситуаций. Экономические соревнования, спортивные встречи, боевые операции – примеры конфликтных ситуаций. Простейшие модели конфликтных ситуаций – это салонные и спортивные игры.
В игре могут сталкиваться интересы двух противников (игра парная или игра двух лиц), интересы n (n > 2) противников (игра множественная или игра n лиц). Существуют игры с бесконечным множеством игроков.
Стратегией игрока называется система правил, однозначно определяющих выбор поведения игрока на каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на конечные и бесконечные.
Процесс игры состоит в выборе каждым игроком i одной своей стратегии
.В результате сложившейся ситуации s игрок i получает выигрыш 
.Игры, в которых целью каждого участника является получение по возможности большего индивидуального выигрыша, называются бескоалиционными в отличие от коалиционных, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиции) без дальнейшего разделения выигрыша между участниками.
По определению бескоалиционной игрой называется система
,в которой I и
– множества, 
– функции на множестве 
принимающие вещественные значения.Бескоалиционная игра называется игрой с постоянной суммой, если существует такое постоянное C, что
для всех ситуаций 
.Ситуация s в игре называется приемлемой для игрока i, если этот игрок, изменяя в ситуации s свою стратегию si на какую-либо другую si', не может увеличить своего выигрыша.
Ситуация s, приемлемая для всех игроков, называется ситуацией равновесия.
Процесс нахождения ситуации равновесия в бескоалиционной игре есть процесс решения игры.
Матричные игры
Игра называется парной, если в ней сталкиваются интересы двух противников. Игра называется с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько второй проигрывает в той же партии.
Каждая фиксированная стратегия, которую может выбрать игрок, называется его чистой стратегией.
Матричной называют парную игру с нулевой суммой при условии, что каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий.
Пусть первый игрок имеет m чистых стратегий, а второй – n.
Парная игра с нулевой суммой задается ' формально системой чисел – матрицей
, элементы которой определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю строку (i-ю стратегию), а второй игрок j-й столбец (j-ю стратегию). Матрица называется платежной матрицей или матрицей игры.Задача первого игрока – максимизировать свой выигрыш.
Задача второго игрока – максимизировать свой выигрыш – сводится к минимизации проигрыша второго, что эквивалентно задаче минимизации выигрыша первого игрока.
Чистые стратегии
Гарантированный выигрыш первого игрока, применяющего чистую i-ю стратегию,
Число
называется нижним значением игры, а соответствующая чистая стратегия i0, при которой достигается 
называется максиминной стратегией первого игрока. Аналогично, 
называется верхним значением игры а j0 – минимаксной стратегией второго игрока.Всегда
. Если 
то игра имеет седловую точку в чистых стратегиях; число 
называется значением игры (или ценой игры). Игра имеет седловую точку в чистых стратегиях тогда и только тогда, когда существует элемент матрицы 
, минимальный в своей строке и в то же время максимальный в столбце 
Любая пара (i0, j0), обладающая свойством (10.1), называется седловой точкой.
Смешанные стратегии
Если обозначить через x1, x2, …, xm вероятности (частоты), с которыми первый игрок выбирает соответственно первую, вторую, . . ., m-ю чистую стратегию, так что через
; через y1, y2, …, yn вероятности, с которыми второй игрок выбирает первую, вторую, ,.., n-ю свою чистую стратегию, причем 
, то наборы чисел x=(x1, x2, …, xm) и y=(y1, y2, …, yn) называются смешанными стратегиями первого и второго игроков соответственно. Каждый игрок имеет бесчисленное множество смешанных стратегий. Множество смешанных стратегий первого игрока обозначим через s1 и множество смешанных стратегий второго игрока – через s2.Задача первого игрока состоит в выборе такой стратеги
чтобы при отсутствии информации о выборе другого максимизировать свой выигрыш. Задача второго игрока состоит в выборе такой стратегии 
, чтобы при отсутствии информации о поведении первого игрока минимизировать выигрыш первого.Если первый игрок применяет стратегию
, а второй – стратегию 
то средний выигрыш M(x, y)первого игрока равен 
ВыигрышM(x, y) называют функцией игры.
Например, в задаче с матрицей
первый игрок имеет две чистые стратегии
, 
и бесчисленное множество смешанных стратегий, таких, как 
, 
и т. д.; все они являются элементами множества 
второй игрок имеет четыре чистые стратегии 
и бесчисленное множество смешанных стратегий, таких, как 
, являющихся элементами множества 
Если первый игрок применяет смешанную стратегию
, а второй применяет стратегию 
, то средний выигрыш первого игрока, определяемый функцией игры, окажется равным 
Если же первый игрок применяет стратегию
, а второй — стратегию 
, то 
. Оптимальная стратегия первого игрока 
второго игрока 
; 
—цена игры.