Полный факторный эксперимент (стр. 1 из 2)
Необходимыми и достаточными условиями для определения любой отрасли знаний как науки является наличие: предмета исследования, метода исследования и средств для реализации этого метода.
Для кибернетики, как науки, предметом исследования являются системы любой природы и их управляемость, методом исследования – математическое моделирование, стратегией исследования – системный анализ, а средством исследования – вычислительные машины. Поэтому кибернетику можно определить как науку, изучающую системы любой природы, способные воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимального управления.
Сейчас с каждым годом возрастает роль средств, позволяющих рационально использовать ресурсы, выделенные для решения задач. Часть методов кибернетики предназначены для увеличения эффективности научного эксперимента на всех стадиях разработки, исследования, проектирования и эксплуатации производств.
Кибернетика включает такие понятия, как системы, информация, хранение и переработка информации, управление системами и оптимизация систем. При этом кибернетика широко пользуется методом математического моделирования и стремится к получению конкретных результатов, позволяющих анализировать и синтезировать изучаемые системы, прогнозировать их оптимальное поведение и обнаруживать каналы и алгоритмы управления.
В тех случаях, когда информации о рассматриваемом процессе недостаточно или процесс настолько сложен, что невозможно составить его детерминированную модель, прибегают к экспериментально-статистическим методам. При этом процесс рассматривают как “черный ящик”. Различают пассивный и активный эксперимент.
Пассивный эксперимент является традиционным методом, в соответствии с которым ставится большая серия опытов с поочередным варьированием каждой из переменных.
Активный эксперимент ставится по заранее составленному плану (планирование эксперимента), при этом предусматривается одновременное изменение всех параметров, влияющих на процесс, что позволяет сразу установить силу взаимодействия параметров и на этом основании сократить общее число опытов.
Использование принципов регрессионного и корреляционного анализа при обработке опытных данных позволяет найти зависимость между переменными и условия оптимума. В обоих случаях математической моделью является функция отклика, связывающая параметр оптимизации, характеризующий результаты эксперимента, с переменными, которые экспериментатор варьирует при проведении опытов.
Регрессионный анализ – один из наиболее распространенных статистических методов. Он используется при построении математической зависимости на основе экспериментальных данных. Благодаря регрессионному анализу возможны построения математической модели и статистический анализ результатов. В первом случае прибегают к различным вариантам метода наименьших квадратов.
В основе регрессионного анализа лежит несколько статистических предпосылок, выполнение которых гарантирует достоверность анализа полученной математической модели:
Выходная переменная – случайная величина с нормальным распределением, факторы – суть не случайные величины; практически это означает, что ошибки в управлениями факторами, по крайней мере на порядок меньше ошибок при измерении выходной переменной.
Связь между факторами отсутствует.
Дисперсии выходной переменной однородны (равноточные) в любой точке факторного пространства.
Исследуемый объект лишен динамических свойств (рассматриваются стационарные режимы объекта).
1. Описание метода и алгоритма решения
Ставится задача определения локального оптимума на объекте исследования, для этого предполагается использовать математическую модель, полученную с помощью полного факторного эксперимента.
Выбирают факторы и выходную переменную, задают области определения факторов и выходной переменной
ymin £ y £ ymax
X1min £ X1 £ X1max
X2min£X2 £X2max
........
В области определения факторов выбирается точка Xi0, i = 1…n (нулевой уровень факторов), которая в предварительных исследованиях была признана наилучшей с точки зрения оптимума y. Задается интервал варьирования факторов DXi. Определяются верхние и нижние уровни факторов:
Xiв = Xi0 + DXi;
Xiн = Xi0 - DXi (1)
при условии, что ( Xiн ¸Xiв) < ( Ximin¸Ximax).
Кодируются факторы (переход к новой безразмерной системе координат x1, x2, …, xn)
В новой системе координат факторы принимают значения +1 и –1.
План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде таблицы. Фиктивная переменная x0 равна единице. В матрицу также записывают результаты проведения параллельных опытов (m опытов в каждой строке матрицы).
План эксперимента должен обладать ортогональностью:
Как следствие (4) план эксперимента обладает симметричностью:
и нормировкойРасчет коэффициентов уравнения регрессии. Коэффициенты рассчитываются по уравнению
где
и окончательногде N – число строк матрицы планирования (число разных условий опыта); m – число параллельных опытов на каждой строке матрицы.
Построчные дисперсии по параллельным опытам на каждой строке матрицы рассчитываются по уравнению
где fu = mu –1.
Проверка однородности дисперсий осуществляется по
критерию Кохрена, расчетное значение которого определяют по уравнению:
где simax – максимальная из рассчитанных дисперсий параллельных опытов (построчных дисперсий); знаменатель – сумма всех дисперсий по уровням фактора.
Если выполняется условие
Gp<Gт (fi = mi – 1, f2 = p, q = 0,05),
то гипотеза об однородности дисперсий правомерна. Gт находят по таблице критерия Кохрена для степеней свободы fi (максимальная дисперсия), f2 (число уровней) и заданного уровня значимости q.
Вся проверка однородности дисперсий осуществляется при условии mi = m, p = N; индекс i заменяется индексом u.
Расчет ошибки опыта производится усреднением построчных дисперсий
для числа степеней свободы
f0 = N ( m – 1 )
Оценка значимости коэффициентов регрессии производится расчетом t-критерия по формуле
где bi – i-й коэффициент регрессии, расчетом дисперсий коэффициентов по формуле с учетом и оценкой по условию
tip>tт (f0 = N0 –1, q = 0,05) (14)
Если для какого-то коэффициента условие (14) не выполняется, то соответствующий фактор можно признать незначимым и исключить его из уравнения.
Проверка адекватности уравнения регрессии осуществляется по формулам.
кибернетика локальный оптимум регрессия
где yu – экспериментальные значения выходной переменной; yu – значения, рассчитанные по уравнению регрессии; fад = N - l, где l – число связей, равное числу коэффициентов уравнения, оставшихся после проверки их значимости; sад – дисперсия адекватности.
Поиск Fт производится для степеней свободы fад и f0.
Если расчетное значение критерия Фишера
Fp<Fт (fад = N – l, f0 = N0 – 1, q = 0,05) (19)
для степеней свободы fад, f0 и заданного уровня значимости, то уравнение считается адекватным.
2. Программная реализация алгоритма
Программа написана в среде разработки BorlandDelphi 5.0. Она является работоспособной и изменяемой. Проверка работоспособности и нормального функционирования была произведена на IntelPentiumIII 1200 с объемом оперативной памяти в 512 Мб.
Данная программа производит вычисления по заранее заложенным в нее данным. Однако можно легко изменить ее на ввод данных с терминала не нарушая общей структуры.
Список используемых переменных
expResult: array[ 1..8, 1..10 ] of real;
матрица хранящая результаты эксперимента
yAverage: array[ 1..8 ] of real;
матрица хранящая построчные средние значения экспериментальных данных У
yExpResult: array[ 1..8 ] of real;
матрица хранящая значения экспериментальных данных Y. Эксперимент построен по полученой математической модели.
regCoeficient: array[ 0..3 ] of real;
матрица хранящая значения коэфициентов регрессии, полеченных по формулам 7-8.
tCritery: array[ 0..3 ] of real;
матрица хранящая значения t-критерия для каждого коефициента уравнения регрессии, расчитанных по формуле 12.
dSu: array[ 1..8 ] of real;
матрица хранящая значения построчных дисперсий, полеченных по формуле 9.
dSo: real;
ошибка эксперимента, формула 11.
dSbi: real;
среднеквадратическое отклонение коэфициентов регрессии, необходимы для нахождения критерия Стьюдента, формулы 13-15.
dSad: real;
дисперсия адекватности математичексой модели.