Моделювання задач масового обслуговування ЕОМ (стр. 3 из 12)

Якщо складений розмічений граф стану, то для побудови математичної моделі, тобто для складання системи звичайних диференційних рівнянь рекомендується використовувати наступні правила:

- Похідна

ймовірності перебування системі у стані n дорівнює алгебраїчній сумі наступних величин: число величин цієї суми дорівнює числу стрілок на графі стану системи, що з’єднує стан n з іншими станами.

- Якщо стрілка направлена в стан n, то відповідна величина береться зі знаком “+” .

- Якщо стрілка направлена зі стану n – то зі знаком “-“.

- Кожна величина суми дорівнює добутку ймовірностей того стану, з котрого направлена стрілка на інтенсивність потоку подій, що переводять систему по даній стрілці.

У відповідності з розміченим графом стану, використовуючи даний стан, запишемо систему звичайних диференційних рівнянь ймовірностей стану таким чином:

;

б) Дослідження математичної моделі.

Обмежемся дослідженням режиму роботи що встановився замкнутої одноканальної системи. Тоді:

(n=0,1,...)

Дійсно, замість системи диференційних рівнянь отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

Використовуючи отриману систему алгебраїчних рівнянь легко виразити ймовірності стану системи у вигляді квадратної рекурентної формули . З першого рівняння визначається ймовірність присутності однієї вимоги в системі.

Із другого рівняння ймовірність присутності двох вимог в системі:

І в результаті отримуємо:

Аналогічно проводиться перетворення для

І врешті сумуємо отримані значення

та знаходимо суму:

Використовуючи формулу геометричної прогресії отримуємо:

і при

, сума:

Звідки ми маємо:

1) ймовірність простою каналу обслуговування:

2) знаходимо ймовірність того, що в системі знаходиться

вимог:

3) середнє число вимог, що знаходяться в системі:

Остання дужка є похідною від наступного виразу:

,

тобто цей вираз дорівнює:

В результаті отримуємо:

4) Далі знаходимо середнє число вимог, що знаходяться в черзі:

5) Знаходимо середній час очікування вимоги в системі, котрий можливо визначити, знаючи середнє число вимог, що знаходяться в системі:

1.1.2.3 Задача аналізу замкнутої системи з очікуванням (потоки вимог Пуасоновські)

а) Постановка задачі.

Нехай досліджується деяка система масового обслуговування з обмеженою кількістю вимог в системі, тобто вимоги, що обслуговуються, знову повертаються в систему обслуговування. Інтенсивність надходження однієї вимоги в систему відома і дорівнює

. Інтенсивність обслуговування також відома та дорівнює . Число вимог, що потребують обслуговування. дорівнює . Необхідно визначити основні характеристики системи, а саме – ймовірність того, що в системі є вимог - . Ймовірність простою каналу обслуговування - .Середнє число вимог, що знаходяться в черзі - . Середнє число вимог, що знаходяться в системі - . Середній час очікування в черзі - . Середній час очікування вимоги в системі - .

Стан системи будемо пов’язувати з числом вимог, що знаходяться в системі. При цьому можливі два стани:

1) число вимог, що поступили в систему, дорівнює нулю

,тобто канали обслуговування простоюють.

2) число вимог , що поступили в систему

.

Закреслимо розмічений граф стану одноканальної замкнутої системи масового обслуговування з очікуванням(рисунок 1.4):

Рисунок 1.4

б) Побудова математичної моделі.

У відповідності до розміченого графа стану та використовуючи правило Колмагорова, запишемо систему диференційних рівнянь для ймовірності стану:

;

Обмежемся дослідженням режиму роботи системи, що встановився. Тоді:

,

і замість системи звичайних диференційних рівнянь ми отримуємо систему алгебраїчних рівнянь:

Для

неважко отримати рекурентну формулу:

; при

; при