Генерация матриц (стр. 3 из 8)
Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка n, где
. Понятие такого определителя выводится индуктивно, считая, что понятие определителя порядка n‑1 уже введено, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка n‑1.Договоримся называть минором любого элемента
матрицы n‑го порядка (1.8) определитель порядка n‑1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i‑й строки и j‑го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом 
. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, а черта над Mозначает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.Определителем порядка n, соответствующим матрице (1.8), назовем число, равное 
и обозначаемое символом
. (1.11)Итак, по определению
. (1.12)Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка nпо элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам
элементов первой строки, являющимся определителями порядка n‑1.Если n=2, топравило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид:
, 
.Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной i‑й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.
Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки i(i=1,2… n), для определителя n‑го порядка (1.11) справедлива формула
, (1.13)называемая разложением этого определителя по i‑й строке.
В этой формуле показатель степени, в которую возводится число (–1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
Доказательство теоремы1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров i= 2, 3,…, n. При n= 2 (т.е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера i=2, т.е. при n = 2 нужно доказать лишь формулу
Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9)
в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при n = 2 теорема доказана.Доказательство формулы (1.13) для произвольного n> 2 производится по индукции, т.е. для определителя порядка n– 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка n.
При доказательстве понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка n– 2. Определитель порядка n‑2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами 
и двух столбцов с номерами 
, называется минором (n‑2) – го порядка и обозначается символом
.Определитель n‑го порядка ∆ вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор
является определителем порядка n‑1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.Фиксировав любой номер i(i=2,3… n),разложим в формуле (1.12) каждый минор
по i– й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре эта строка будет (i‑1) – й).В результате весь определитель ∆ окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации миноров (n‑2) – го порядка
с несовпадающими номерами j и k, т.е. в виде 
(1.14)Для вычисления множителей 
заметим, что минор
получается в результате разложения по (i‑1) – й строке только следующих двух миноров (n – 1) – го порядка, отвечающих элементам первой строки матрицы (1.8): минора и минора 
(ибо только эти два минора элементов первой строки содержат все столбцы минора ).В разложениях миноров
и по указанной (i– 1) – й строке выписываются только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент ajkминора стоит на пересечении (i– 1) – й строки и (k– 1) – го столбца этого минора, а элемент aijминора стоит на пересечении (i – 1) – й строки и j‑го столбца этого минора, в итоге получается 
(1.15)
(1.16)
Вставляя (1.15)_ и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэффициент при
,мы получим, что множитель в равенстве (1.14) имеет вид 
(1 17)
Для завершения доказательства теоремы видно, что и правая часть (1.13) равна сумме, стоящей в правой части (1.14), с теми же самыми значениями (1.17) для .
Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (n‑1) – го порядка
по первой строке. В результате вся правая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некоторыми коэффициентами тех же самых миноров 
(1.18)и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.17).
Для этого заметно, что минор
получается в результате разложения по первой строке только следующих двух миноров (n– 1) – го порядка, отвечающих элементам i‑й строки матрицы (1.8): минора и минора 
(ибо только эти два минора элементов i‑й строки содержат все столбцы минора ).В разложениях миноров
и по первой строке выписывается только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент aikминора стоит на пересечении первой строки и (k‑1) – го столбца этого минора, а элемент aijминора стоит на пересечении первой строки и j‑го столбца этого минора, получается