ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений (стр. 1 из 4)
Министерство Топлива и Энергетики Украины
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Практическое занятие №4
по дисциплине
«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»
Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Вариант №8
Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В
Левицкий П.В.
Проверил:_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Данные варианта задания.
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием переходной матрицы.
2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad
2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа
2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях
2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD
2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа
2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях
2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы
2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.
2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа
2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
при заданном внешнем воздействии и начальных условиях
2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD
2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа
2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)
3. Выводы по работе №4.
1. Данные варианта задания
Система линейных дифференциальных уравнений в форме Коши
Таблица № 1
| №вар | Ко э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й | Начальные условия | ||||||||||||||||||||||
| а11 | а12 | а13 | а14 | а21 | а22 | а23 | а24 | а31 | а32 | а33 | а34 | а41 | а42 | а43 | а44 | b0 | b1 | b2 | b3 | х0(0) | х1(0) | х2(0) | х3(0) | |
| 8 | -2,4 | 1,4 | 1,6 | -1,8 | -2,6 | -12 | 0,6 | 4,0 | -0,8 | -0,85 | -0,1 | 0,2 | 0,4 | 1,2 | 1,0 | -1,5 | 0,1 | 0,2 | 0 | 0,6 | 0 | 0 | -0.8 | 5.1 |
Электротехническая система описывается заданной системой линейных дифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t):
Матрицы системы:
2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши
2.1 Теоретическое обоснование
Можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:
или на основании правила дифференцирования матриц:
Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме
здесь 
- общее решение однородной системы дифференциальных уравненийX(t) - частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений
.Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений
Для определения общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо:
· найти собственные значения λi матрицы А, используя выражение:
· найти переходную матрицу:
где Р – матрица, составленная из собственных векторов vi матрицы А, которые определяются из выражения:
Аvi = λivii = 1,2..n
- одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1 = 1)Тогда
причем 
- диагональная матрица. 
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид: 
Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений ищется:
Общее решение неоднородной системы дифференциальных уравнений тогда будет иметь вид:
В данной работе мы будем определять аналитические зависимости изменения переменных состояния системы численными методами с использованием переходной матрицы, а также с помощью специальных функций MATHCAD.
2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа
Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы ( при вычислении интеграла). В этом случае целесообразно использовать преобразования Лапласа, что существенно упрощает вычисления и дает значительно большую обозримость решения. Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа:
1.Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хi(t).
2.Начальные значения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываются автоматически, в то время как при применении классического метода предварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еще одной системы линейных уравнений. Часто встречающийся на практике случай нулевых начальных значений приводит при применении преобразования Лапласа к особенно простым вычислениям.
3.Наконец, важное преимущество заключается в том, что каждая неизвестная функция может быть вычислена сама по себе, независимо от вычисления остальных неизвестных функций, что при использовании классическим методом при заданных начальных условиях в общем случае невозможно. Это преимущество особенно ценно, когда практический интерес представляет определение только одной-единственной, неизвестной, вычисление же остальных неизвестных необязательно.
2.3 Общее решение однородной системы
2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием переходной матрицы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.
Вычисление собственных значений квадратной матрицы А:
Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4
С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:
· Введите выражение.
· Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение, приравнивающее выражение к нулю.
· Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable / Solve (Переменная / Решить) .
В нашем случае, чтобы найти значения λ, которые являются корнями характеристического уравнения запишем выражение в Mathcad.
Для вычисления собственных значений матрицы А можно применить и функцию eigenvals, ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой.
Как видно, характеристическое уравнение имеет 4 различных корня, которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Характеристическому числу λ1 соответствует собственный вектор р11; р21; р31; р41; числу λ2 соответствует собственный вектор р12; р22; р32; р42, числу λ3 соответствует собственный вектор р13; р23; р33; р43 числу λ4 соответствует собственный вектор р14; р24; р34; р44.