ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений (стр. 2 из 4)

Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь 4 решения. Первое соответствует корню λ1. Второе решение соответствует корню λ2. Третье решение соответствует корню λ3.Четвёртое решение соответствует корню λ4.

Преобразующую матрицу Р определяем по матрице А, используя дополнительную функцию eigenvecs(A) — вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;

Для получения общего решения однородной системы дифференциальных уравнений необходимо определить по переходной матрице аналитическое выражение изменения независимых переменных системы.

Также построим график их изменения при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).

Начальные условия:

С помощью слова complex можно преобразовывать выражения как в символьном виде, так и с учетом численных значений, если они были ранее присвоены переменным.

Ф=P*Q*P^-1

Общее решение системы дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия:

Тогда получим 4 решения:

Рисунок 1.1. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.

2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad

СПРАВКА: В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2—3) задачу Коши различными численными методами.

· rkfixed(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом,

· Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) — метод Рунге-Кутты с переменным шагом;

· Buistoer(y0, t0, t1, M, D) — метод Булирша-Штера;

o у0 — вектор начальных значений в точке to размера NXI;

o t0 — начальная точка расчета,

o t1 — конечная точка расчета,

o M — число шагов, на которых численный метод находит решение;

o D — векторная функция размера NXI двух аргументов — скалярного t и векторного у При этом у — искомая векторная функция аргумента t того же размера NXI.

Таким образом, воспользуемся функцией Rkadapt (y0, t0, t1, M, D) -получим матрицу решения системы дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при Mшагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Тогда решение уравнения динамики электротехнической системы с помощью встроенной функции Rkadapt выглядит так:

Зададим интервал интегрирования t0 - t1, количество шагов интегрирования М, вектор заданных начальных условий X0 и правую часть дифференциального уравнения y(t):

Сформируем матрицу системы дифференциальных уравнений:

Применим функцию:

-Интервал времени.

-Значение искомой координаты.

Рисунок 1.2. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученные с помощью MATHCAD.

Как видно из графического представления решения, график полученный с помощью переходной функции такой же как график, полученный с помощью функции MATHCAD.

2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа

Заданную систему уравнений преобразуем по Лапласу и найдем переходную матрицу и изображение по Лапласу переменной состояния системы:

На основании переходной матрицы определим изображение и оригинал переменных состояния систем:

Графики изменения переменных состояния во временной области при отсутствии внешних возмущений и заданных начальных условиях, полученные с помощью преобразования Лапласа представлены на рисунке 7.1.

Рисунок 1.3. Графики изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия, полученных при помощи преобразования Лапласа.

Как видно рисунок 1.3. совпадает с рисунком 1.1, где неизвестные получены с помощью характеристического уравнения системы и рисунком 1.2.- численный метод с использованием функции MATHCAD.

2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях

2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD