ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения дифференциального уравнения n-го порядка (стр. 2 из 2)

Рисунок 4. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

2.1.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Изменим условия решения дифференциального уравнения. Зададим начальные условия для искомой переменной х₀(0) = 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).См.таблицу1.

Рисунок 5. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях. х₀(0) = 1

Зададим начальные условия для искомой переменной х₀(0) =- 1, начальные условия для других переменных равны нулю.( x1(0) = x2(0)= x3(0) = 0).

Рисунок 6. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = 1(t) и ненулевых начальных условиях х₀(0) =- 1.

2.1.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях.

a = 0.35

Рисунок 7. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат.

При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35)._

При y(t) = cos(aּπּt) и ненулевых начальных условиях.

a = 0.35

Рисунок 8. Графическое представление результатов численного решения дифференциального уравнения 4-го порядка в декартовой системе координат. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях(a = 0.35; x0(0) = -1).

2.2. Решение дифференциальных уравнений N-гопорядка операторным методом.

2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )

К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:

К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.

Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:

На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).

Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)

Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.

2.2.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;

3. Выводы по работе №3

В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.

Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на sв квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.

Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.