Управление (стр. 5 из 6)
В любой момент времени t состояние управляемой системы является функцией начального состояния
и векторов 
, т.е. 
(5)Векторное уравнение (5) эквивалентно системе из п скалярных уравнений
(6)Уравнения (5) и (6) можно рассматривать как математическую модель управляемой системы в общем случае. Для САУ, описываемых дифференциальными уравнениями, уравнения (5) и (6) можно привести к следующему виду:
(7)Уравнение (7) — стохастическое векторное уравнение системы, где f(t) —вектор возмущений и помех, имеющий случайный характер.
Часто на изменение вектора состояния x(t) (или его производных) и вектора управления и u(t) накладываются ограничения вида
(8)которые означают, что изменения векторов x(t) и u(t) должны быть ограничены замкнутыми областями А(t) и В (t) векторных пространств состояний и управлений соответственно.
Пусть цель управления как конечный результат функционирования САУ определяется экстремумом некоторого функционала Е, называемого показателем цели управления:
(9)Решение задачи управления состоит в том, чтобы найти вектор управления u(t), обеспечивающий экстремум функционала (9)
(10)и одновременно удовлетворяющий ограничениям и связям, налагаемым внутренними (собственными) свойствами системы и внешними возмущениями и помехами.
Так как в правую часть уравнения (7) системы (объекта) входят случайные переменные f(t), то и процесс изменения вектора состояния x(t) или вектора выхода y(t) оказывается случайным.
Таким образом, общей задачей теории управления является управление случайным (стохастическим) процессом. Эта задача в общей постановке представляет собой математически почти непреодолимые трудности. Поэтому решение оптимальной задачи управления (10) обычно основывают на методе последовательных приближений, причем первую и вторую итерации определяют поэтапно:
1) этап первичной оптимизации—состоит в нахождении оптимального вектора управления
без учета влияния возмущающих воздействий и помех, характеризуемых вектором f(t). Экстремальная задача решается в упрощенной детерминированной постановке, учитывающей лишь основные свойства системы, т. е. без учета влияния случайных переменных или помех f(t);2) этап вторичной оптимизации, или оптимизации качества управления, — состоит в определении минимума функционала (называемого показателем качества САУ)
(11)где Ео — экстремум показателя цели управления, вычисленный согласно этапу первичной оптимизации; Едейст — действительный показатель цели управления, учитывающий влияние внешних возмущений и помех.
Из сравнения следует, что функционал (4) является частным случаем общего функционала (11).
Поясним, почему проблема ТАУ более общая и сложная, чем проблема ТАР.
Во-первых, необходимо сформировать управляющее воздействие или вектор u(t) на основании цели управления Е объектом, представляющей собой, в достаточно общем случае, конечный технический или экономический результат, который может быть достигнут САУ на определенном временном интервале ее функционирования. Функционал
, характеризующий цель управления, может представлять собой сложную функцию, которую трудно формализовать (представить в аналитической форме), так как этот функционал зависит, например, от эффективности, производительности, прибыли, стоимости, вероятности выполнения некоторого события и т. д. Кроме того, решение задачи затруднено ввиду значительной неопределенности при описании модели объекта, требуемых ограничений, случайного характера приложенных к нему возмущений и помех и т. д. Очевидно, что цель управления гораздо сложнее, чем цель регулирования, которая состоит лишь в нахождении минимума функционала от ошибки между входом и выходом согласно (4).Во-вторых, сложность проблемы управления состоит в аналитическом решении задачи определения оптимального значения
, придающего экстремум функционалу цели управления Ео. Кроме того, необходимо усилить управляющий сигнал до уровня, достаточного для воздействия на объект управления т. е. решить собственно задачу регулирования, так как технически управляющий сигнал обычно формируется при помощи ЭВМ на низком уровне мощности.Таким образом, необходимо сформировать показатель качества управления в виде функционала (11)
(12)и решить эту задачу уже в стохастической постановке.
Один из вариантов решения проблемы управления приведен рис. 7, где
—случайные воздействия.Итак, поставлена проблема, которая сводится к решению задачи двух зависимых друг от друга функционалов (11) и (12), между тем как в математике не существует регулярных средств для решения задач такого рода.
Рис. 7. Вариант построения САУ
6 Проблема управления
Стремление обеспечить минимум функционала ошибкиQ0, характеризующей качество управления, обычно вступает в противоречие с условиями технической реализуемости, зависящей от сложности системы, ее стоимости, надежности и т. д. Действительно, чем выше качество управления, т. е. чем выше точность аппроксимации оптимального алгоритма управления, тем сложнее, дороже и ненадежнее управляющая система.
Проблема управления является даже не двух-, а многокритериальной задачей, что обеспечивает наивыгоднейшие условия компромисса между противоречивыми условиями качества и реализуемости управления. Вопросы проектирования САУ здесь не рассматриваются.
Рис. 8. Схема проблемы управления
Проблема управления может быть пояснена схемой, показанной на рис. 8. Цель управления задается функционалом Е0 (блок 1); в блоке 2, представляющем собой ЭВМ, определяется экстремум функционала
(13)в блоке 3 осуществляется сравнение оптимального значения Е0 с его действительным значением Едейств при использовании функционалов (12) и (13) и вычислении на ЭВМ:
.ФункционалQ0 определяет качество управления при наличии случайных возмущающих воздействий.
Реализация управления по этому принципу представляет собой большие технические трудности. Одна из наиболее существенных—необходимость формирования ошибки
по показателю цели управления Е0.Действительно, определение АЕ требует измерения всех переменных величин, от которых зависит результат и которые входят в выражение для цели управления E(t). Большинство из них не может быть оперативно определено в ходе процесса управления (либо из-за недостатка измерительных устройств, либо из-за того, что вычисление этих переменных может быть выполнено лишь за большой промежуток времени). Поэтому задача управления в изложенной ранее постановке заменяется более простой задачей, когда показатель качества управления
не зависит явно от ошибки в показателе цели управления Q(
). В этом случае необходимость формирования сигнала об ошибке отпадает и задача значительно упрощается. Таким показателем может служить точность управления, определяемая следующим образом. Рассмотрим вектор ошибки 
(14)или
где
, 
—оптимальные векторы состояния и выходной переменной соответственно (получены на основании первичной оптимизации функционала Е, определяющего цель управления).Вектор состояния х(t) можно найти по результатам наблюдения илипо данным измерения вектора наблюдения (см. рис. 16). Тогда этап вторичной оптимизации (собственно задача регулирования) не требует вычисления показателя цели управления E(t) и сводится к определению оптимального управляющего воздействия