Розподіл Пуасона (стр. 2 из 3)

Критерії значущості забезпечують найкращу достовірність статистичних висновків‚ якщо вибірку беруть з нормально розподіленої генеральної сукупності. При відхиленнях від нормального розподілу точність критеріїв значущості дещо зменшується. На практиці використовують ряд розподілівё досить близьких до нормального: біноміальний, поліноміальний, розподіл Пуассона, розподіл Фішера, розподіл Стьюдента. Завданням куросового проекту є побудова теоретичного ряду з арозподілом Пуассона та перевірка гіпоетзи про узгодження теоретичного та емпіричного рядів за критерієм згоди

(хі-квадрат) Пірсона.

Розподіл Пуассона є додатнім цілочисленим розподілом‚ який відіграє величезну роль в теорії ймовірностей та математичній статистиці. В якості прикладів випадкових величин‚ які розподілені за законом Пуассона‚ звичайно наводять наступні: число альфа-частинок‚ які випромінюються радіоактивним джерелом за певний проміжок часу; кількість бактерій‚ які видно під мікроскопом; число зірок в просторі і т.п. цей розподіл часто зустрічається при дослідженні проблем‚ пов'язаних з телефонною мережею.

Випадкова величина Х, яка має розподіл Пуассона, приймає значення

, причому ймовірність того, що вона прийме значення , обчислюється за формулою

(5)

де

, тобто параметр є математичним сподіванням випадкової величини Х. Знайдемо дисперсію випадкової величини Х:

,

тобто параметр

є середнім квадратичним відхиленням величини Х. Виконавши деякі перетворення‚ отримаємо .

Через параметр

можна виразити ще дві характеристики розподілу Пуассона: коефіцієнт асиметрії і ексцес .

Однією з суттєвих особливостей розподілу Пуассона є його стійкість відносно лінійних операцій над випадковими величинами.

Тепер перейдемо до критерію Пірсона. Нехай теоретичний розподіл задано функцією (5)‚ а

- теоретичні частоти відповідних значень ознаки . Потрібно встановити‚ якою мірою розподіл Пуассона відображає емпіричний ряд. Щоб зробити висновок про міру узгодження між емпіричним і теоретичним розподілом‚ розглядають сумарну розбіжність між емпіричними та теоретичними частотами. Сумарна розбіжність між частотами залежить від функції розподілу‚ який дає нам теоретичні частоти‚ і від випадкових причин‚ внаслідок яких маємо емпіричний розподіл. Якщо сумарна розбіжність мала‚ то можна припустити‚ що вона зумовлена випадковими причинами‚ а тому теоретичний розподіл добре відображає емпіричний ряд. Якщо сумарна розбіжність велика‚ то вона зумовлена істотними причинами‚ а саме тим‚ що теоретичний розподіл погано відображає емпіричний ряд.

Критерій згоди Пірсона полягає в тому‚ що за міру розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами беруть величину

. (6)

Величина

- середня зважена квадратів відхилень емпіричних і теоретичних частот‚ при цьому вагою є величини‚ обернені теоретичним частотам. Статистика є випадковою величиною‚ яка сама має свій закон розподілу. Пірсон показав‚ що не залежить ні від функції розподілу‚ ні від обсягу вибірки‚ а залежить лише від параметра - числа степенів свободи і дорівнює різниці між числом частот ‚ які порівнюються і числом зв'язків‚ які на ці частоти накладено. При застосуванні критерію Пірсона вважають‚ що сума теоретичних частот дорівнює сумі емпіричних‚ а теоретичні середня і дисперсія дорівнюють вибірковій середній і вибірковій дисперсії. Тому число степенів вільності (свободи) становить .

Критерій Пірсона застосовують за таким алгоритмом.

1. Формулюють гіпотезу H₀ - емпіричний розподіл відповідає розподілу Пуассона і альтернативну гіпотезу - емпіричний розподіл не відповідає розподілу Пуассона.

2. Задають рівень значущості

.

3. Розглядають вибірку обсягом

незалежних спостережень і емпіричний розподіл представляють у вигляді інтервального варіаційного ряду.

4. Обчислюють вибіркові характеристики

і S. Їх використовують замість генерального параметра розподілу Пуассона‚ з яким порівнюватимемо емпіричний розподіл.

5. Обчислюють значення теоретичних частот

для кожнго з інтервалів групування. Для цього використовується формула

Якщо буде встановлено‚ що обчислені частоти

деяких інтервалів групування менше п'яти‚ то сусідні інтервали об'єднуються так‚ щоб сума обчислених теоретичних частот була не меншою п'яти. Частоти об'єднаних інтервалів при цьому додають.

6. Обчислюють значення критерію

за формулою (6).

7. Знаходять табличне критичне значення

для заданого рівня значущості і числа ступенів свободи .

8. Якщо

‚ то емпіричний розподіл не відповідає розподілу Пуассона при заданому рівні значущості . Якщо ‚ то це дає право стверджувати‚ що гіпотеза H₀ допустима‚ тобто припущення про те‚ що в генеральній розподіл не суперечить дослідним даним.

В розділі 2 описано програму визначення ступеня згоди емпіричного розподілу з теоретичним розподілом Пуассона.

2. практична частина

2.1 Архітектура програми

Для реалізації поставленої задачі розроблено програму PUASSON (лістінг програми представлено в додатку 4).

Програма складається з головного блоку, трьох процедур:

- VVID;

- OBCHYSL;

- VYVID_REZ

т функції FAKT.

Запуск програми здійснити таким чином:

- з середовища операційної оболонки Norton Commander шляхом запуску PUASSON.EXE (попередньо програма повинна буди відкомпільована з опцією Destination To Memory).

- з головного меню інтегрованого середовища Turbo Pascal шляхом вибору опції Run (попередньо програма повинна бути завантажена в ОП - F10, File, Open, PUASSON.PAS);

Програма виводить на дисплей головного меню, котре пропонує користувачеві вибір однієї з опцій:

- ВВІД ДАНИХ

- РОЗРАХУНОК

- РЕЗУЛЬТАТ

- ВИХІД.

При виборі певної опції активізується відповідна процедура. Завершення роботи програми і повернення в середовище системи програмування Turbo Pascal здійснюється при натисканні клавіші Esc, що відповідає вибору опції «ВИХІД». Програма здійснює побудову теоретичного варіаційного ряду та перевіряє гіпотезу про розподіл Пуассона генеральної сукупності за критерієм згоди Пірсона‚ виводить результати обчислень та висновок щодо гіпотези на екран дисплею.

Опишемо процедури програми PUASSONS.PAS.

Процедура VVID. Призначення - ввід емпіричного варіаційного ряду‚ впорядкування емпіричного ряду за зростанням. Процедура викликається з головного меню програми при виборі пункту «ВВІД» шляхом натискання функціональної клавіші F2.

Після впорядкування емпіричного масиву даних процедура припиняє роботу і повертає керування в програму. Процес виконання процедури представлено екранною копією (див. додаток 1).

Процедура OBCHYSL. Призначення - групування емпіричних даних в інтервали‚ підрахунок емпіричних частот‚ обчислення вибіркових характеристик - середньої‚ вибіркової дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Процедура викликається з головного меню програми при виборі пункту «РОЗРАХУНОК» (функціональна клавіша F3). Після обчислення вибіркових статистик та виводу їх на дисплей процедура передає керування головному блокові програми.