Решение транспортной задачи линейного программирования в среде MS Excel (стр. 2 из 9)
вводится фиктивный (n+1)-й пункт назначения с потребностью
= 
- 
и соответствующие тарифы считаются равными нулю:
=0 (i=1,…m). Полученная таким образом задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство (5).Аналогично, при
< ,вводится фиктивный (m+1)-й пункт отправления с запасом груза
= - и тарифы пологаются равными нулю:
=0 (j=1,…m). Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.Число переменных
в транспортной задаче с m пунктами отправления и пунктами назначения равно m n, а число уравнений в системах (2) и (3) равно n+m-1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более n+m-1 отличных от нуля неизвестных.Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности n+m-1, то план является невырожденным, а если меньше-то вырожденным.
Для определения опорного плана существует несколько методов. (Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом). Для определения оптимального воспользуемся средством Поиска решений, реализованного в Excel.
Допустим, что ваша фирма занимается переработкой некоторого сырья на нескольких заводах (потребители-З1,З2,…), расположенных в разных районах города. Сырье поставляется со складов (поставщики-П1,П2,…), расположенных в нескольких городах области. Стоимость сырья одинаковая, однако, перевозка со склада и завода. Потребность заводов в сырье различна, и запасы на каждом складе ограничены. Требуется определить: с какого склада, на какой завод поставлять, сколько сырья для минимизации общих затрат на перевозку.
В нашем примере обозначим заводы З1,З2,З3,З4, а склады П1,П2,П3,П4,П5. Стоимость перевозки измеряется в тенге на тонну груза, а потребность заводов и складские запасы - в тоннах.
ГЛАВА I Задачи линейного программирования
К классу линейного программирования относятся такие задачи однокритериальной оптимизации, в которых переменные являются непрерывными и неотрицательными, целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а ограничения могут быть представлены в форме линейных неравенств и равенств. При этом на значения переменных не накладываются никакие дополнительные ограничения, такие как, например, ограничения целочисленности или булевости.
На формирование линейного программирования в качестве самостоятельного направления научно-прикладных исследований наибольшее влияние оказали американские ученые Дж. Данциг, Т. Купмас, Дж. фон Нейман и ученые из России Л.В. Канторович, А.С. Немировский, Л.Г. Хачиян и Д.Б. Юдин. Хотя необходимость создания специальных методов решения неклассических оптимизационных задач осознавалась и раньше, в частности, экономистами и военными специалистами во времена второй мировой войны, только в послевоенное время были разработаны теоретические основы линейного программирования и предложены специальные методы решения соответствующих практических задач.
Собственно термин «линейное программирование» впервые появился в 1951 году в работах Дж. Дангинца и лауреата Нобелевской премии по экономике Т. Купманса. Однако общепризнанно, что первые исследования по линейному программированию, связанные с формулировкой основной задачи, рассмотрением приложений, нахождением критерия оптимальности, экономической интерпретацией, были выполнены в конце 30-х годов ХХ в. в СССР лауреатом Нобелевской премии по экономике Л.В. Канторовичем. По поводу Дж. Данциг в одной из своих монографий отмечает, что «Конторовича Л.В. следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важнейших производственных задач поддается четкой математической формулировке, которая, по убеждению, дает возможность подходить к задачам с количественной стороны и решать их численными методами…»
Достижения в области линейного программирования содействовали прогрессу в разработке методов и алгоритмов решения задач оптимизации других классов, в том числе задач нелинейного, целочисленного и комбинаторного программирования. В настоящее время задачи линейного программирования широко используются в процессе подготовки специалистов самой различной квалификации. Чтобы понять особенности задач данного класса и методы их решения, необходимо рассмотреть математическую постановку задачи линейного программирования в общем случае.
1.1 Общая характеристика задачи линейного
программирования
При рассмотрении задач линейного программирования, следует помнить что, с одной стороны, они являются специальным случаем общей задачи оптимизации. Тем самым для задач линейного программирования оказываются справедливыми соответствующие результаты относительно общих свойств и способов их решения, разработанные в теории решения экстремальных задач. С другой стороны, специальная форма задания целевой функции и ограничений в форме линейных функций приводит к появлению у данного класса задач целого ряда специальных свойств, которые послужили основой разработки специализированных методов и алгоритмов их решения. Для детального анализа этих специальных свойств следует рассмотреть общую математическую постановку задачи линейного программирования.
1.2 Математическая постановка задачи линейного
программирования
В общем случае математическая постановка задачи линейного программирования, может быть сформулирована в следующем виде:
f(x1,x2…,,x n)®
где (1.1) 
x1,x2…,,x n 
(1.2)(k
{1,2,…,m}).при этом следует принимать во внимание следующие принципиальные предположения о характере целевой функции и левых частей ограничений:
1. Целевая функция f(x1,x2…,,x n ) предполагается линейной относительно всех своих переменных, т.е. может быть представлена в форме всех своих представлена в форме: f(x1,x…,,x n)=с1х1+с2х2+…+с n x n.
2. Левые части ограничений g k(x1,x2…,,x n) (
{1,2,…,m}) также является линейными функциями относительно своих переменных x1,x2…,,x n, т.е. могут быть представлены в форме: g k(x1,x2…,,x n)=ак1х+ак2х2+…+а к n x n.3. Переменные x1,x2…,,x n могут принимать свои значения только из множество неотрицательных действительных чисел R1+ ,т.е. хi
R1+ ( 
{1,2,…,n}).С учетом сделанных предположений общая задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом.
Необходимо найти максимум линейной целевой функции n переменных x1,x2…,,x n
R1+ следующего вида:с1х1+с2х2+…+с n x n ®
(1.3)где множество допустимых альтернатив
формируется следующей системой ограничений типа равенств и неравенств:аi1х+аi2х2+…+а in x n=bi (
{1,2,…,q}). (1.4)ак1х+ак2х2+…+а к n x n.
bk ( {q+1,2,…,m}). (1.5)В математической постановке общей задачи линейного программирования через сi, aki , bk (
{1,2,…,n}),( {1,2,…,m}) обозначены постоянные величины, которые могут принимать произвольные, не обязательно целочисленные значения, определяемые спецификой конкретной задачи линейного программирования.В случае отсутствия ограничений типа равенств (1.4), т.е. при q=0, задача линейного программирования называется стандартной задачей линейного программирования, которая, с учетом сделанных предположений, может быть записана в следующем виде:
с1х1+с2х2+…+с n x n ®
(1.6)где множество допустимых альтернатив
формируется следующей системой ограничений типа неравенств: