Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках (стр. 4 из 12)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z_h‖_Hh→0 при h→0, если

_Hh→0 и _Hh→0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh = О(hⁿ), _Hh = O(hⁿ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

(30)

Разложим u_i+1 по формуле Тейлора в точке x_i, имеем

(31)

Подставляя (31) в ш_i, получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При

имеем Выражая z_i через z₀, получим:

Отсюда видно, что при h→0, │z_i│→0. Для точности схемы имеем

│z_i+1│≤

h∙│ш_s│≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i = y_i –u_i получаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в ш_i , получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i:

Множитель

при л > 0. Выражая z_i через z₀, имеем

Отсюда │z_i│≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область

={ }. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, - средний шаг}- сетка по х;

, - средний шаг}- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть

- неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

- правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

- левая разностная производная по х; (2)

- центральная разностная производная по х; (3)

- аппроксимация с весом ; (4)

Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

- правая разностная производная по t; (5)

- левая разностная производная по t; (6)

- центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

; (8)

; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения

Найдем и подставим в (1).

Имеем

= ,

Функцию

разложим по формуле Тейлора

,

и подставим в

Имеем

,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка

.

1.7.2 Формирование сетки

I вариант

,

(1)

, q>1-возраст.геометр.прогрессия

, q<1-убыв.геометр.прогрессия

1)

, (2)

, q>1. (3)

2)

, (4)

, q<1. (5)

и - задаем сами.

Пример Пусть

q>1 и по формуле (3) n