Перетворення координат, операції масштабування в бібліотеці Opengl (стр. 1 из 2)
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
Бердичівський політехнічний коледж
КОНТРОЛЬНАРОБОТА
з предмета “Комп’ютерна графіка”
(варіант №8)
Перетворення координат, операції масштабування
в бібліотеці Opengl
м. Бердичів 2007 р.
1. Перетворення координат: афінне перетворення на площині, тривідерне афінне перетворення
Спочатку розглянемо загальні питання перетворення координат. Нехай задана n-вимірна система координат у базисі (k1 ,k2, ..., kn), яка описує положення точки у просторі за допомог гою числових значень kі. У КГ найчастіше використовуються двовимірна (п = 2) та тривимірна (п = 3) системи координат.
Якщо задати іншу, N-вимірну, систему координат у базисі (т1, т2, ..., mN), і поставити задачу визначення координат у новій системі, знаючи координати в старій, то рішення (якщо воно існує) можна записати у такому вигляді:
де fi— функція перерахування i-ї координати, аргументами є координати у системі ki. Можна поставити й обернену задачу: по відомих координатах (m1 ,т2, .... mN), визначити координати (к1 ,к2, ..., кn). Рішення оберненої задачі запишемо так:
де Fi — функції оберненого перетворення.
У випадку, коли розмірності систем координат не збігаються (п N), здійснити однозначне перетворення координат найчастіше не вдається. Наприклад, за двовимірними екранними координатами не можна без додаткових умов однозначно визначити тривимірні координати об'єктів, що відображаються.
Якщо розмірності систем збігаються (n = N), то також можливі випадки, коли не можна однозначно вирішити пряму або обернену задачі. Перетворення координат класифікують:
• за системами координат — наприклад, перетворення з полярної системи у прямокутну;
• за видом функції перетворення .
За видом функцій перетворення розрізняють лінійні та нелінійні перетворення. Якщо
при усіх i= і, 2, ..., N функції fi — лінійні відносно аргументів (k1 ,k2, ..., kn), тобто
де aij — константи, то такі перетворення називаються лінійними, а при n = N— афінними. Якщо хоча б для одного i функція fi є нелінійною відносно (k1 ,k2, ..., kn), тоді перетворення координат у цілому є нелінійним. Наприклад, перетворення
нелінійне, оскільки є добуток ху у виразі для Y. Тим, хто цікавиться математичними аспектами, що відносяться до систем координат і перетворення систем координат, можна порекомендувати такі книги, як [15, 23].
Лінійні перетворення наглядно записуються в матричній формі:
Тут матриця коефіцієнтів (аіj) множиться на матрицю-стовпець (ki), й у результаті матимемо матрицю-стовпець (mi).
Ми й далі часто будемо використовувати множення матриць, тому зробимо невеличкий екскурс у матричну алгебру. Для двох матриць — матриці А розмірами (т*п) та В — (п*р):
матричним добутком є матриця С = АВ розмірами (т*р)
для якої елементи cij обраховуються за формулою
.Правило обчислення елементів матриці С можна легко запам'ятати за назвою "рядок на стовпець". І дійсно, для обчислення будь-якого елемента cij необхідно помножити елементи і-го рядка матриці А на елементи j -го стовпця матриці В.
Добуток матриць визначається тільки для випадку, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В. Більш докладно з матрицями ви можете ознайомитися в математичній літературі, наприклад, у [5]. Тепер повернемося знову до перетворень координат. Розглянемо більш докладно деякі окремі типи перетворень.
Афінне перетворення на площині
Задамо якусь двовимірну систему координат (х, у). Афінне перетворення на площині описується формулами
де А, В, ..., F — константи. Значення (X, Y) можна розглядати як координати в новій системі координат.
Обернене перетворення (X, Y) у (х, у) також є афінним:
Афінне перетворення зручно записувати в матричному вигляді. Константи А, В, .... F утворюють матрицю перетворення, котра, будучи помножена на матрицю-стовпець координат (х, у) дає матрицю-стовпець (X, У). Однак щоб урахувати константи С та F, необхідно перейти до так званих однорідних координат — додамо ще один рядок у матрицях координат:
Матричний запис дає можливість наочно описувати декілька перетворень, що йдуть одні за одними. Наприклад, якщо необхідно спочатку виконати перетворення
а потім — інше перетворення
то це можна описати як
Однак замість двох перетворень можна виконати тільки одне
де матриця С дорівнює добутку ВА.
Тепер розглянемо окремі випадки афінного перетворення.
1. Паралельний зсув координат (рис. 2.1).
У матричній формі:
Обернене перетворення:
2. Розтягнення-стискання осей координат (рис. 2.2).
Обернене перетворення:
Коефіцієнти кх і кy можуть бути від'ємними. Наприклад, кх = -1 відповідає дзеркальному відбиттю відносно осі у.
3. Поворот (рис. 2.3).
Обернене перетворення відповідає повороту системи (X, Y) на кут (-
). 
Властивості афінного перетворення
• Будь-яке афінне перетворення може бути представлене як послідовність операцій з числа вказаних найпростіших: зсув, розтягнення/стискання та поворот.
• Зберігаються прямизна лінії, паралельність прямих, відношення довжин відрізків, які лежать на одній прямій, та співвідношення площ фігур.
2. Операції масштабування, переносу, повороту в бібліотеці Opengl
Ми вже знаємо, що межі області висновку лежать в межах від -1 до 1 Це може привести до незручності при підготовці зображень На щастя, OpenGL надає зручний засіб на цей випадок – масштабування. Розберемо його на прикладі програми побудови фігури, показаної на рис 2. 8.Для зміни масштабу використовується команда glScalef із трьома аргументами, що є масштабними множниками для кожної з осей. Наприклад, якщо перед командними дужками вставимо рядок glScalef (0. 5, 0. 5, 1. 0); то буде намальована зменшена в два рази фігура (готовий проект розташовується в підкаталозі Ex50) .После команд малювання необхідно відновити нормальний масштаб, т. e в даному випадку додати рядок:
glScalef (2. 0, 2. 0, 1. 0);.
Є і інший спосіб запам'ятовування/відновлення поточного масштабу, але | про нього ми поговоримо пізніше. Відновлювати масштаб необхідно для того, щоб кожне подальше звернення до обробника перемальовування екрану не приводило, наводило б до послідовного зменшення/збільшення зображення У принципі, можна для того, щоб звернутися до рядка єдиний раз в ході роботи застосування.
Масштабні множники можуть мати негативні значення, при цьому зображення перевертається по відповідній осі. Ілюструючи цю властивість проект перебуває в підкаталозі Ex51.
При двовимірних побудовах значення коефіцієнта по осі Z байдуже, одиниця узята без особливих міркувань.
Для повороту використовується команда glRotatef із чотирма аргументами: кут повороту, в градусах, і вектор повороту, три дійсні числа.
Для двовимірних побудов найбільш наочний поворот по осі Z, чим я і користуюся в прикладах, що наводяться. У попередньому прикладі перед командними дужками вставте рядок:
glRotatef (5, 0. 0, 0. 0, 1. 0);
і створіть обробник події Keypress з єдиною командою Refresh. Тепер при натисненні будь-якої клавіші вікно перемальовувалося, при цьому кожного разу фігура обертається на п'ять градусів по осі Z (проект із підкаталогу Ex52). Тут треба звернути увагу на дві речі: на те, що при позитивному значенні компоненти вектора поворот здійснюється проти годинникової стрілки і те, що важливо не саме значення компоненти, а її знак і нерівність її нулю. Хоча ми поки обмежуємося площинними побудовами поворот по будь-якій з осей позначається на відтворній картинці. Перевірте: при повороті по осях X і Y ми одержуємо правильну картинку в проекції з урахуванням повороту по осях.
Поворот часто використовується при побудовах тому важливо розібратися в ньому досконально. Точно так, як і було з масштабом, поворот діє на все наступні команди відтворення, так що при необхідності поточний стан відновлюється зворотним поворотом. Наприклад, якщо треба намалювати повернений на 45 градусів квадрат, т e. ромб, то код повинен виглядати так (готовий проект можете узяти в підкаталозі Ex53):