Пример операции вычитания отношений приведен на рис. 4.1 и рис. 4.4.
| A MINUS B | B MINUS A | ||||
| CityNo | CityName | RgNo | CityNo | CityName | RgNo |
| 1 | Желтые Воды | 1 | 4 | Львов | 2 |
рис. 4.4 Результат операции вычитания отношений A минус B и B минус A.
В математике декартово произведение (или для краткости произведение) двух множеств является множеством всех таких упорядоченных пар элементов, что первый элемент в каждой паре берется из первого множества, а второй элемент в каждой паре берется из второго множества. Следовательно, декартово произведение двух отношений, должно быть множеством упорядоченных пар кортежей. Но опять-таки необходимо сохранить свойство замкнутости; иначе говоря, результат должен содержать кортежи, а не упорядоченные пары кортежей.
Декартово произведение двух отношений А и В (A TIMES B), где А и В не имеют общих имен атрибутов, определяется как отношение с заголовком, который представляет собой сцепление двух заголовков исходных отношений А и В, и телом, состоящим из множества всех кортежей t, таких, что t представляет собой сцепление кортежа a, принадлежащего отношению А, и кортежа b, принадлежащего отношению В. Кардинальное число результата равняется произведению кардинальных чисел исходных отношений А и В, а степень равняется сумме их степеней. Пример операции декартова произведения представлена на рис. 4.5
| A | B | |||
| CityNo | CityName | A_RgNo | B_RgNo | RgName |
| 1 | Желтые Воды | 1 | 1 | Днепропетровская |
| 2 | Кривой Рог | 1 | 2 | Львовская |
| 3 | Пятихатки | 1 | ||
| A TIMES B | ||||
| CityNo | CityName | A_RgNo | B_RgNo | RgName |
| 1 | Желтые Воды | 1 | 1 | Днепропетровская |
| 1 | Желтые Воды | 1 | 2 | Львовская |
| 2 | Кривой Рог | 1 | 1 | Днепропетровская |
| 2 | Кривой Рог | 1 | 2 | Львовская |
| 3 | Пятихатки | 1 | 1 | Днепропетровская |
| 3 | Пятихатки | 1 | 2 | Львовская |
рис. 4.5 Результат операции декартово произведение отношений A и B.
Явное использование операции декартова произведения требуется только для очень сложных запросов. Эта операция включена в реляционную алгебру главным образом по концептуальным соображениям. Декартово произведение требуется как промежуточный шаг при определении операции Q-соединения которая используется довольно часто.
Операции объединения, пересечения и декартова произведения (но не вычитания) обладают свойствами ассоциативности и коммутативности.
Пусть А, В и С – произвольные реляционные выражения (дающие совместимые по типу отношения). Тогда операция объединения:
(A UNION В) UNION С
Эквивалентна операции:
А UNION (В UNION С) (свойство ассоциативности), а .операция объединения:
А UNION B эквивалентна операции:
В UNION A (свойство коммутативности). Аналогично свойства ассоциативности и коммутативности определяются для остальных операций.
Свойство ассоциативности позволяет записывать последовательные операторы объединения (пересечения и декартова произведения) без использования круглых скобок; таким образом, выражение из предыдущего примера можно однозначно упростить:
A UNION В UNION С.
Выборка – это сокращенное название Q-выборки, где Q обозначает любой скалярный оператор сравнения (=, ¹, >, ³, ≤, <). Q-выборкой из отношения A по атрибутам Х и Y (в этом порядке)
A WHERE X Q Y называется отношение, имеющее тот же заголовок, что и отношение А, и тело, содержащее множество всех кортежей отношения А, для которых проверка условия X Q Y дает значение истина. Атрибуты X и Y должны быть определены на одном и том же домене, а оператор должен иметь смысл для этого домена.
На рис. 4.6приведен пример операции выборки.
| A | ||
| CityNo | CityName | RgNo |
| 1 | Желтые Воды | 1 |
| 2 | Кривой Рог | 1 |
| 3 | Пятихатки | 1 |
| 4 | Львов | 2 |
| A WHERE RgNo = 1 | ||
| CityNo | CityName | RgNo |
| 1 | Желтые Воды | 1 |
| 2 | Кривой Рог | 1 |
| 3 | Пятихатки | 1 |
рис. 4.6 Исходное отношение A и результат операции выборки кортежей из отношения A по условию RGNo = 1.
Проекцией отношения А по атрибутам X, Y,..., Z, где каждый из атрибутов принадлежит отношению А
A [ X, Y, …, Z ] называется отношение с заголовком {X, Y,..., Z} и телом, содержащим множество всех кортежей {Х:х, Y:y,..., Z:z}, таких, для которых в отношении А значение атрибута Х равно х, атрибута Y равно y, ..., атрибута Z равно z.
Таким образом, с помощью оператора проекции получено "вертикальное" подмножество данного отношения, т.е. подмножество, получаемое исключением всех атрибутов, не указанных в списке атрибутов, и последующим исключением дублирующих кортежей (рис. 4.7).
A
| CityNo | CityName | RgNo |
| 1 | Желтые Воды | 1 |
| 2 | Кривой Рог | 1 |
| 3 | Пятихатки | 1 |
| 4 | Львов | 2 |
A [CityName]
| CityName |
| Желтые Воды |
| Кривой Рог |
| Пятихатки |
| Львов |
рис. 4.7 Исходное отношение A и результат операции проекции отношения A по атрибуту CityName.
Никакой атрибут не может быть указан в списке атрибутов более одного раза. Синтаксис позволяет опустить список атрибутов совсем (вместе с квадратными скобками). Действие такой операции эквивалентно указанию списка всех атрибутов исходного отношения, т.е. такая операция представляет собой тождественную проекцию. Другими словами, имя отношения является допустимым реляционным выражением. Проекция вида R[ ], т.е. такая, в которой список атрибутов не пропущен, но пустой, тоже допустима. Она представляет собой "нулевую" проекцию.
Операция соединения имеет несколько разновидностей. Однако наиболее важным, без сомнения, является естественное соединение, причем настолько, что для обозначения исключительно естественного соединения почти постоянно используется общий термин "соединение".
Пусть отношения А и В имеют заголовки {Xl, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn} и {Yl, Y2, ..., Yn, Zl, Z2, ..., Zp} соответственно; т.е. атрибуты Yl, Y2, ..., Yn (и только они) ‑ общие для двух отношений; Х1, Х2, ... ,Хm – остальные атрибуты отношения A; Zl, Z2, ..., Zp ‑ остальные атрибуты отношения В. Предположим также, что соответствующие атрибуты (т.е. атрибуты с одинаковыми именами) определены на одном и том же домене. Рассматривать выражения {X1, Х2, ..., Хm}, {Y1, Y2, ..., Yn} и {Zl, Z2, ..., Zp} как три составных атрибута X, Y и Z соответственно. Тогда естественным соединением отношений А и В (A JOIN B) называется отношение с заголовком {X, Y, Z} и телом, содержащим множество всех кортежей {Х:х, Y:y, Z:z}, таких, для которых в отношении А значение атрибута X равно х, а атрибута Y равно у, и в отношении В значение атрибута Y равно у, а атрибута Z равно z.
Пример операции естественного соединения приведен на рис. 4.8.
| A | B | |||
| CityNo | CityName | RgNo | RgNo | RgName |
| 1 | Желтые Воды | 1 | 1 | Днепропетровская |
| 2 | Кривой Рог | 1 | 2 | Львовская |
| 3 | Пятихатки | 1 | ||
| A JOIN B | |||
| CityNo | CityName | A_RgNo | RgName |
| 1 | Желтые Воды | 1 | Днепропетровская |
| 2 | Кривой Рог | 1 | Днепропетровская |
| 3 | Пятихатки | 1 | Днепропетровская |
рис. 4.8 Исходные отношения A и B и результат операции естественного соединения.
Соединение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности. Отсюда следует, что выражения:
(A JOIN В) JOIN С и
A JOIN (В JOIN С) могут быть однозначно упрощены к следующему:
A JOIN В JOIN С
Кроме того, выражения:
A JOIN Ви
В JOIN A эквивалентны.
Операция Q-соединения предназначается для тех случаев (сравнительно редких, но, тем не менее, встречающихся), когда нам нужно соединить вместе два отношения на основе некоторых условий, отличных от эквивалентности. Пусть отношения А и В не имеют общих имен атрибутов (как и в рассмотренной выше операции декартова произведения) и Q определяется так же, как и в операции выборки. Тогда Q-соединением отношения А по атрибуту Х с отношением В по атрибуту Y называется результат вычисления выражения
(A TIMES В) WHERE X Q Y
Q-соединение, таким образом, это отношение с тем же заголовком, что и при декартовом произведении отношений A и B, и с телом, содержащим множество кортежей, принадлежащих этому декартову произведению и вычисление условия XQY дает значение истина для этого кортежа. Атрибуты Х и У должны быть определены на одном и том же домене, а операция должна иметь смысл для этого домена.