Возвращаясь к рассматриваемому примеру с действительно корректной и желательной декомпозицией, показанной на рис. 7.3, следует, однако, отметить, что такая декомпозиция не может быть выполнена на основе функциональных зависимостей, поскольку они не существуют в данном отношении (кроме тривиальных зависимостей). Однако ее можно осуществить на основе нового типа зависимости, а именно упомянутой выше многозначной зависимости. Многозначные зависимости можно считать обобщением функциональных зависимостей в том смысле, что каждая функциональная зависимость является многозначной (однако обратное утверждение не верно, поскольку существуют многозначные зависимости, которые не являются функциональными). В отношении СТХ есть две многозначные зависимости:
Course—>>Teacher
Course—>>Text
Обратите внимание на двойную стрелку, которая в многозначной зависимости A—>>B означает, что "B многозначно зависит от A" или "A многозначно определяет B".
Пусть A, B и C являются произвольными подмножествами множества атрибутов отношения R. Тогда B многозначно зависит от A, что символически выражается записью
А—>>В
тогда и только тогда, когда множество значений B, соответствующее заданной паре (значение A, значение C) отношения R, зависит только от A, но не зависит от C.
Для данного отношения R{A, B, C} многозначная зависимость A—>>B выполняется тогда и только тогда, когда также выполняется многозначная зависимость A —>> C. Таким образом, многозначные зависимости всегда образуют связанные пары и потому их обычно представляют вместе в символическом виде:
А—>>В|С.
Для рассматриваемого примера такая запись будет иметь следующий вид:
Course—>>Teacher|Text
Возвращаясь к исходной задаче с отношением СТХ, теперь можно отметить, что описанная ранее проблема с отношением типа СТХ возникает из-за того, что оно содержит многозначные зависимости, которые не являются функциональными. (Следует отметить совсем неочевидный факт, что именно наличие таких МЗ требует вставлять два кортежа, когда необходимо добавить данные еще об одном преподавателе физики.) Проекции СТ и СХ не содержат многозначных зависимостей, а потому они действительно представляют собой некоторое усовершенствование исходной структуры. Поэтому было бы желательно заменить отношение СТХ двумя этими проекциями. Это можно сделать, исходя из теоремы Фейгина, которая приведена ниже.
Теорема Фейгина (эта теорема является более строгой версией теоремы Хеза). Пусть А, В и С являются множествами атрибутов отношения R{A, В, С}. Отношение R будет равно соединению его проекций {А, В} и {А, С} тогда и только тогда, когда для отношения R выполняется многозначная зависимость А—>>В|С.
Отношение R находится в четвертой нормальной форме (4НФ) тогда и только тогда, когда существуют такие подмножества А и В атрибутов отношения R, что выполняется (нетривиальная) многозначная зависимость А —>> В. Тогда все атрибуты отношения R также функционально зависят от атрибута A.
До сих пор предполагалось, что единственной операцией в процессе декомпозиции является замена данного отношения (при декомпозиции без потерь) двумя его проекциями. Это допущение успешно выполнялось вплоть до определения 4НФ. Однако существуют отношения, для которых нельзя выполнить декомпозицию без потерь на две проекции, но которые можно подвергнуть декомпозиции без потерь на три или более проекции.
На рисунке представлен пример конкретного набора данных, соответствующих некоторому моменту времени. Однако, если данное отношение удовлетворяет некоторому не зависящему от времени ограничению, то 3-декомпозируемость отношения TSG может быть более фундаментальным и не зависящим от времени свойством, т.е. свойством, которое удовлетворяется для всех допустимых значений данного отношения. Для того чтобы понять, каким должно быть такое отношение, прежде всего отметим, что утверждение "отношение TSG равно соединению трех проекций TS, SG и TG" эквивалентно следующему утверждению:
Если пара (t1,s1) находится в отношении TS и пара (s1,g1) находится в отношении SG и пара (t1,g1) находится в отношении TG то тройка (t1,s1,g1) находится в отношении TSG.
| TSG | ||
| TEACHER | SUBJECT | GROUP |
| Иванов | Математика | А-98-51 |
| Иванов | Физика | Б-00-51 |
| Петров | Математика | А-99-51 |
| Петров | Физика | А-98-51 |
| TS | SG | TG | ||||||||||
| TEACHER | SUBJECT | SUBJECT | GROUP | TEACHER | GROUP | |||||||
| Иванов | Физика | Математика | А-99-51 | Иванов | А-98-51 | |||||||
| Иванов | Математика | Математика | А-98-51 | Иванов | Б-00-51 | |||||||
| Петров | Физика | Физика | А-98-51 | Петров | А-99-51 | |||||||
| Петров | Математика | Физика | Б-00-51 | Петров | А-98-51 | |||||||
| ëСоединение по Subjectû ¯ | ||||||||||||
| TEACHER | SUBJECT | GROUP | ||||||||||
| Иванов | Физика | А-98-51 | ||||||||||
| Иванов | Физика | Б-00-51 | ||||||||||
| Иванов | Математика | А-99-51 | ||||||||||
| Иванов | Математика | А-98-51 | ||||||||||
| Петров | Физика | А-98-51 | ||||||||||
| Петров | Физика | Б-00-51 | ||||||||||
| Петров | Математика | А-99-51 | ||||||||||
| Петров | Математика | А-98-51 | ||||||||||
| ëСоединение по комбинации Teacher и Groupû ¯ | ||||||||||||
| Исходное TSG | ||||||||||||
рис. 7.4 Отношение TSG является соединением трех бинарных проекций.
Исходя из этих заключений можно сказать, что пара (t1,s1) присутствует в отношении TS тогда и только тогда, когда тройка (t1, s1, g2) присутствует в отношении TSG для некоторого значения g2. Тогда приведенное выше утверждение можно переписать в виде ограничения, накладываемого на отношение SPJ:
Если (t1,s1,g2), (t2,s1,g1), (t1,s2,g1) находятся в отношении TSG то (t1,s1,g1) также находится в отношении TSG.
Если это утверждение выполняется всегда, т.е. для всех допустимых значений отношения TSG, то тем самым будет получено независящее от времени (хотя и несколько странное) ограничение для данного отношения. Обратите внимание на циклическую структуру этого ограничения. Отношение будет n-декомпозируемым для n>2 тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет некоторому циклическому ограничению.
Циклическое ограничение с практической точки зрения обозначает, что, например, если:
1. Петров преподает математику;
2. математика преподается в А-98-51;
3. Петров преподает в А-98-51
то:
4. Петров преподает математику в А-98-51.
Обратите внимание, что из взятых вместе условий (1), (2) и (3) не следует (4).
Пусть R является отношением, а А, В,..., Z— произвольными подмножествами множества атрибутов отношения R. Отношение R удовлетворяет зависимости соединения
* (A, B, ..., Z)
тогда и только тогда, когда оно равносильно соединению своих проекций с подмножествами атрибутов А, В, ..., Z.
Отсюда ясно, что отношение TSG с зависимостью соединения *(TS, SG, TG) может быть 3-декомпозируемым. Однако следует ли выполнять такую декомпозицию? По всей видимости, да, так как отношение TSG характеризуется многочисленными аномалиями обновления, которые можно устранить с помощью 3-декомпозиции. Пример был приведен при определении циклического ограничения, из-за наличия которого, в отношении TSG должен присутствовать следующий кортеж (рис. 7.5)
| TEACHER | SUBJECT | GROUP |
| Петров | Математика | А-98-51 |
рис. 7.5 Дополнительный кортеж.
Также теорема Фейгина может быть сформулирована следующим образом: отношение R{A, В, С} удовлетворяет зависимости соединения *(АВ, АС) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет многозначной зависимости А —>> В | С.
Эту теорему можно использовать в качестве определения многозначной зависимости, отсюда следует, что многозначная зависимость является частным случаем зависимости соединения. Более того, из определения зависимости соединения следует, что из всех возможных форм это наиболее общая форма зависимости.
Возвращаясь к рассматриваемому примеру, можно обнаружить следующую проблему: отношение TSG содержит зависимость соединения, которая не является ни многозначной, ни функциональной зависимостью. Можно также заметить, что рекомендуется декомпозировать такое отношение на меньшие компоненты, а именно на проекции, заданные зависимостью соединения. Такой процесс декомпозиции может повторяться до тех пор, пока все результирующие отношения не будут находиться в пятой нормальной форме.
Отношение R находится в пятой нормальной форме (5НФ), которая также называется проекционно-соединительной нормальной формой, тогда и только тогда, когда каждая зависимость соединения в отношении R подразумевается потенциальными ключами отношения R.
Отношение TSG не находится в 5НФ. Оно удовлетворяет некоторой зависимости соединения, а именно ЗД-ограничению, которое, конечно, не подразумевается его единственным потенциальным ключом. Наоборот, после 3-декомпозиции проекции TS, SG и GT находятся в 5НФ, поскольку для них вовсе нет зависимостей соединения.