Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 6 из 17)

1.12 Экспериментальная оценка надёжности изделий

Для решения теоретических и практических задач надёжности необходимо знать законы распределения исходных случайных величин. При оценке надёжности изделий может решаться задача определения по данным эксплуатации или специальных испытаний среднего времени безотказной работы

, среднего времени восстановления .

Рассмотрим случайную величину Т - время безотказной работы. При эксплуатации или испытаниях изделий в течении определённого времени случайная величина Т может принять n различных значений. Совокупность этих значений случайной величины Т называется статистической выборкой объёма n. Эта выборка может использоваться для статистической оценки закона распределения случайной величины Т.

Приведём пример статистической выборки для 10 однотипных изделий.

При большом числе n удобнее перейти от статистической выборки к статистическому ряду. Определяем диапазон значений случайной величины Т.

,

где

, - максимальное и минимальное значение случайной величины Т.

Этот диапозон R разбивается на интервалы длины

;

где K- количество интервалов. Целесообразно выбирать число интервалов порядка 10 - 20. Обозначим через

количество значений случайной величины Т, попавших в интервал i - й длины . Полагаем ; i = 1, 2,…..,K.

Определим частоту попадания в i - й интервал

.

Определяем статистическую плотность вероятности времени безотказной работы Т

.

Результаты сведём в таблицу:

Наглядное представление о законе распределения случайной величины Т дают статистические графики. Из них самые распространённые: полигон, гистограмма, статистическая функция распределения.

Полигон строится следующим образом: на оси абцисс откладываются интервалы

, i = 1, 2, …..k , в серединах интервалов строятся ординаты, равные частотам и концы ординат соединяются.

Построение гистограммы: над каждым интервалом

, i = 1, 2, …..k строится прямоугольник, площадь которого равна частоте в этом интервале.

Построение статистической функции распределения

случайной величины Т. Над каждым интервалом проводится горизонтальная линия на уровне ординаты, равной величине накопленной частоты.

Второй способ построения статистической функции распределения случайной величины Т:

,

где

- частота выполнения события .

,

где

- число опытов, при которых

Статистическая плотность вероятности

и статистическая функция распределения случайной величины Т представляют статистический закон распределения случайной величины Т.

1.13 Выравнивание статистического закона распределения случайной величины Т

На практике число опытов nограничено, и статистический закон распределения является каким-то приближением к теоретическому (истинному) закону распределения случайной величины Т. Стремятся подобрать такую теоретическую кривую, которая бы отражала существенные черты статистического закона распределения и не отражала бы случайностей из-за малого количества данных. Вид закона распределения подбирают из существа задачи, либо по внешнему виду статистического закона распределения.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т экспоненциальным законом распределения f(t).

Для экспоненциального закона распределения имеем

;

.

Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный экспоненциальный закон распределения зависит от одного параметра

. Оценку параметра обозначим через . Оценку мы определяем из результатов опытов.

Используем для определения

метод моментов; приравниваем теоретические и статистические моменты данного закона распределения. Имеем

.

Здесь

- первый теоретический момент. По результатам опытов определяем статистический первый момент . Имеем

;

где

-время безотказной работы i - го изделия; n - число опытов или число изделий, поставленных на испытания. Приравниваем эти моменты

или

откуда

Пример 2: из результатов опытов определим

i =1, 2, …., k.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т нормальным законом распределения f(t) вида

Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный нормальный закон распределения зависит от двух параметров

и . Определим оценки и этих параметров из результатов опытов. Используем для определения и метод моментов. Теоретические моменты закона распределения случайной величины Т:

начальные моменты порядка S определяются соотношением

; S = 1, 2,……;

центральные моменты порядка S определяются формулой

; S = 1, 2, …….

Здесь

.

Определим

и ( - начальный момент 1 - го порядка; - центральный момент 2 - го порядка). Имеем:

;

;

Таким образом

;

;

По результатам опытов определяем статистические моменты

и .