Надёжность функционирования автоматизированных систем (стр. 4 из 17)
Для вероятности отказа справедливо приближённое равенство
; где 
.Здесь N - n(t) - число изделий, отказавших к моменту времени t.
1.8 Плотность вероятности f(t) времени безотказной работы T
; 
- частота отказов.Здесь
- плотность вероятности случайной величины T или частота отказов. 
® вероятность того, что отказ изделия произойдёт на интервале времени 
.Для плотности вероятности времени безотказной работы T справедливо приближённое равенство:
, где 
- оценка частоты отказов.Здесь N - число изделий, поставленных на испытания,
- число отказавших изделий на участке времени (t, t + Dt).1.9 Интенсивность отказов l(t)
Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия на промежутке времени от
до 
при условии, что изделие до момента времени не отказывало.Обозначим эту вероятность через
. 
0 T 
Событие А - изделие работало безотказно на интервале времени от 0 до
.Событие В - изделие работало безотказно на интервале времени от
до ( 
= 
+ )AB - произведение событий А и В. Произведением событий А и В является событие, заключающееся в совместном появлении этих событий.
P(AB) = P(A) P(B/A).
P(B/A) - условная вероятность события B при условии, что событие А произошло (имело место).
P(A) = P(t) - вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t
P(B/A) = P(AB) / P(A); P(B/A) = P
.Но вероятность P(AB) есть вероятность безотказной работы изделия на интервале
;т.е. P(AB) = P
.Поэтому
P(
.Вероятность отказа изделия на интервале
равна 
;Так как
= + , то 
; 
; 
;Введём обозначение
; (1.2) 
; 
- интенсивность отказов.При малом Dt из (1.1) имеем
.Отсюда
. (1.3)Из (1.3) видно, что интенсивность отказов представляет собой отношение вероятности отказа на интервале (t, t + Dt) к длине этого интервала (при малом Dt).
Из (1.1) имеем
.Из (1.2) имеем
.Отсюда
;или
(1.4) ; 
;или
(1.5)Для практически важного частного случая
; формула (1.4) принимает вид 
(1.6)Формула (1.6) называется экспоненциальным законом надёжности. На практике этот закон ввиду его простоты нашёл широкое применение при расчёте надёжности изделий.
График функции l(t):
l(t)  |
1-й участок 2-й участок 3-й участок  |
0
t1 - й участок - период приработки изделия.
2 - й участок - период нормальной работы.
3 - й участок - период старения или износа изделия.
1.9.1 Определение интенсивности отказов l(t) по результатам испытаний
Интенсивность отказов l(t) может быть определена по результатам испытаний. Пусть на испытания поставлено N изделий. Пусть n(t) - число изделий, не отказавших к моменту времени t. Тогда:
; 
; 
; 
;где Dn(t) - число отказавших изделий на интервале времени (t, t + Dt). Тогда:
или 
1.10 Числовые характеристики надёжности
Рассмотренные количественные характеристики надёжности являются функциями времени. Для определения этих характеристик на основе опытных данных с достаточной точностью требуется большой объём испытаний. Более просто найти числовые характеристики надёжности. К ним относятся:
1) среднее время безотказной работы;
2) дисперсия времени безотказной работы;
Определим среднее время безотказной работы или математическое ожидание случайной величины T. Имеем
Величина
также называется средняя наработка на отказ.Известно, что f(t) =
. Тогда: 
.Этот интеграл можно вычислить по частям