Модели и методы принятия решения (стр. 2 из 3)
Пересчитаем координаты центра эллипса:
, 
.На рис.3 представлено графическое решение.
Из рисунка видно, что график уравнения ограничения g1 (X) (сплошная линия) пересекается с графиком целевой функции (пунктирная линия) в точке А.
В точке А с координатами (5,2222; 6,8889) имеется минимум целевой функции:
j (X) = 3х12 + 2х1 +2х22 + 22х2 - 2х1х2 = 3 * 5,22222 + 2 * 5,2222 + 2 * 6,88892 + 22 * 6,8889 - 2 * 5,2222 * 6,8889 = 266,78.
На рис.3 представлена также целевая функция с большим значением:
j (X) = 350.
Центр эллипсов обозначен точкой N (-2,6; -6,8).
Ответ:
Имеется одна точка экстремума - точка минимума (5,2222; 6,8889), при этом целевая функция равна:
j (X) = 266,78.
Рис.3. Графическое решение
Задача 3
Решить на основе условий Куна-Таккера.
Решение проиллюстрировать графически.
extrj (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2
при
3x1 - 2x2£ 18
x1 + 2x2£ 8
Решение:
Обозначим:
g1 (X) = 3x1 - 2x2 - 18 £0,g2 (X) = - x1 + 2x2 - 8 £ 0.
Записываем функцию Лагранжа:
L (X, S, l) = j (X) - l1 (g1 (X) + S12) - l2 (g2 (X) + S22)
L (X, S, l) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 - l1 (3x1 - 2x2 - 18 + S12) - l2 (- x1 + 2x2 - 8 + S22)
Отсюда получаем необходимые и достаточные условия экстремума (условия Куна-Таккера) в виде системы уравнений:
, 
, 
, 
, 
, 
.Принимаем (из третьего и четвёртого уравнений системы):
.Из первого и второго уравнений системы находим:
® 
, 
® 
,из пятого уравнения системы:
® 
,из шестого уравнения системы:
® 
.Таким образом, нашли первую точку:
.Принимаем (из третьего и четвёртого уравнений системы):
.Из первого и второго уравнений системы находим:
® 
, 
® 
,подставляем в пятое уравнение системы:
® 
® 
.определяем координаты точки экстремума:
, 
,из шестого уравнения системы:
® 
.Таким образом, нашли вторую точку:
.Принимаем (из третьего и четвёртого уравнений системы):
.Из шестого уравнения системы находим:
® 
.Подставляем полученное значение в первое и второе уравнения системы:
® 
, 
® 
® 
® 
, 
.Подставляем также полученные значения в пятое уравнение системы:
® 
.Таким образом, нашли третью точку:
.В результате решения системы получаем векторы:
.В точке
имеем глобальный минимум целевой функции:
j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = (4- 4) 2 + (3- 3) 2 = 0.
В точке
имеем седловую точку целевой функции:
j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = (6,7692- 4) 2 + (1,1538 - 3) 2 = 11,077.
В точке
имеем седловую точку целевой функции:
j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = (2,8 - 4) 2 + (5,4 - 3) 2 = 7,2.
Для графической иллюстрации решения строим графики уравнений ограничений:
g1 (X) = 3x1 - 2x2 - 18 £ 0®
,g2 (X) = - x1 + 2x2 - 8 £ 0®
сплошные линии на рис.4 (графики прямых).
Также строим графики целевой функции для седловых точек (проходящих через точки А и В)
j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = 11,077®
,j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = 7,2®
,и минимума (проходящий через точку С) - центр окружности:
j (X) = (x1 - 4) 2 + (x2 - 3) 2 = 0®
пунктирные линии на рис.4 (графики окружностей с центром в точке
).Из графика также видно, что глобального максимума целевой функции достичь невозможно!
Рис.4. Графическое решение
Ответ:
В точке С
имеем глобальный минимум целевой функции:
j (X) = 0.
В точке В
имеем седловую точку целевой функции:
j (X) = 11,077.
В точке А
имеем седловую точку целевой функции:
j (X) = 7,2.
Глобального максимума целевой функции достичь невозможно.
Задача 4
Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.
Решить задачу средствами MSExcel.
Решение проиллюстрировать графически.
maxj (X) = - 2x1 + 8x2 - x12 - x22 (11)
при
x1 + 2x2£ 12
x1 + x2³- 8
X³ 0
Решение:
Обозначим ограничения:
, 
.Расширенная целевая функция образуется суммой целевой функции
и штрафной функции 
: 
.