Использование метода ветвей и границ при адаптации рабочей нагрузки к параметрам вычислительного процесса (стр. 3 из 7)

При решении алгебраических уравнений методом Монте-Карло число операций пропорционально числу уравнений, а при их решении детерминированными численными методами это число пропорционально кубу числа уравнений. Такое же приблизительно преимущество сохраняется вообще при выполнении различных вычислений с матрицами и особенно в операции обращения матрицы. Надо заметить, что универсальные вычислительные машины не приспособлены для матричных вычислений и метод Монте-Карло, применённый на этих машинах, лишь несколько улучшает процесс решения, но особенно преимущества вероятностного счёта проявляются при использовании специализированных вероятностных машин. Основной идеей, которая используется при решении детерминированных задач методом Монте-Карло, является замена детерминированной задачи эквивалентной статистической задачей, к которой можно применять этот метод. Естественно, что при такой замене вместо точного решения задачи получается приближённое решение, погрешность которого уменьшается с увеличением числа испытаний.

Эта идея используется в задачах дискретной оптимизации, которые возникают при управлении. Часто эти задачи сводятся к перебору большого числа вариантов, исчисляемого комбинаторными числами вида N=

. Так, задача распределения n видов ресурсов между отраслями для n>3 не может быть точно решена на существующих цифровых вычислительных машинах (ЦВМ) и ЦВМ ближайшего будущего из-за большого объёма перебора вариантов. Однако таких задач возникает очень много в кибернетике, например синтез конечных автоматов. Если искусственно ввести вероятностную модель-аналог, то задача существенно упростится, правда, решение будет приближённым, но его можно получить с помощью современных вычислительных машин за приемлемое время счёта.

При обработке больших массивов информации и управлении сверхбольшими системами, которые насчитывают свыше 100 тыс. компонентов (например, видов работ, промышленных изделий и пр.), встаёт задача укрупнения или эталонизации, т.е. сведения сверхбольшого массива к 100–1000 раз меньшему массиву эталонов. Это можно выполнить с помощью вероятностной модели. Считается, что каждый эталон может реализоваться или материализоваться в виде конкретного представителя случайным образом с законом вероятности, определяемым относительной частотой появления этого представителя. Вместо исходной детерминированной системы вводится эквивалентная вероятностная модель, которая легче поддаётся расчёту. Можно построить несколько уровней, строя эталоны эталонов. Во всех этих вероятностных моделях с успехом применяется метод Монте-Карло. Очевидно, что успех и точность статистического моделирования зависит в основном от качества последовательности случайных чисел и выбора оптимального алгоритма моделирования.

Задача получения случайных чисел обычно разбивается на две. Вначале получают последовательность случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале [0,1]. Затем из неё получают последовательность случайных чисел, имеющих произвольный закон распределения. Один из способов такого преобразования состоит в использовании нелинейных преобразований. Пусть имеется случайная величина X, функция распределения вероятности для которой

.

Если y является функцией x, т.е. y=F(x), то

и поэтому . Таким образом, для получения последовательности случайных чисел, имеющих заданную функцию распределения F(x), необходимо каждое число y с выхода датчика случайных чисел, который формирует числа с равномерным законом распределения в интервале [0,1], подать на нелинейное устройство (аналоговое или цифровое), в котором реализуется функция, обратная F(x), т.е.

. (2)

Полученная таким способом случайная величина X будет иметь функцию распределения F(x). Рассмотренная выше процедура может быть использована для графического способа получения случайных чисел, имеющих заданный закон распределения. Для этого на миллиметровой бумаге строится функция F(x) и вводится в рассмотрение другая случайная величина Y, которая связана со случайной величиной X соотношением (2) (рис. 2).

Так как любая функция распределения монотонно неубывающая, то

.

Отсюда следует, что величина Y имеет равномерный закон распределения в интервале [0,1], т. к. её функция распределения равна самой величине

.

Плотность распределения вероятности для Y

.

Для получения значения X берётся число из таблиц случайных чисел, имеющих равномерное распределение, которое откладывается на оси ординат (рис. 2), и на оси абсцисс считывается соответствующее число X. Повторив неоднократно эту процедуру, получим набор случайных чисел, имеющих закон распределения F(x). Таким образом, основная проблема заключается в получении равномерно распределённых в интервале [0,1] случайных чисел. Один из методов, который используется при физическом способе получения случайных чисел для ЭВМ, состоит в формировании дискретной случайной величины, которая может принимать только два значения: 0 или 1 с вероятностями

Далее будем рассматривать бесконечную последовательность z₁, z₂, z₃,… как значения разрядов двоичного числа ξ^* вида

Можно доказать, что случайная величина ξ^*, заключённая в интервале [0,1], имеет равномерный закон распределения

.

В цифровой вычислительной машине имеется конечное число разрядов k. Поэтому максимальное количество несовпадающих между собой чисел равно 2^k. В связи с этим в машине можно реализовать дискретную совокупность случайных чисел, т.е. конечное множество чисел, имеющих равномерный закон распределения. Такое распределение называется квазиравномерным. Возможные значения реализации дискретного псевдослучайного числа

в вычислительной машине с k разрядами будут иметь вид:

. (3)

Вероятность каждого значения (3) равна 2^-k. Эти значения можно получить следующим образом

.

Случайная величина

имеет математическое ожидание

.

Учитывая, что

и выражение для конечной суммы геометрической прогрессии

, (4)

получаем:

. (5)

Аналогично можно определить дисперсию величины

:

,

где

,

откуда

,

или, используя формулу (4), получаем:

. (6)

Согласно формуле (5) оценка

величины ξ^* получается смещённой при конечном k. Это смещение особенно сказывается при малом k. Поэтому вместо вводят оценку

, (7)

где

.

Очевидно, что случайная величина ξ в соответствии с соотношением (3) может принимать значения

, i=0,1,2,…, 2^k-1

с вероятностью p=1/2^k.

Математическое ожидание и дисперсию величины ξ можно получить из соотношений (5) и (6), если учесть (7). Действительно,

;

.

Отсюда получаем выражение для среднеквадратичного значения в виде

. (8)

Напомним, что для равномерно распределённой в интервале [0,1] величины x имеем