Базы данных и информационные технологии (стр. 13 из 28)

Замечание. Меняя местами кортежи

и в определении многозначной зависимости, получим, что в отношении должен содержаться также и кортеж . Таким образом, атрибуты и , многозначно зависящие от , ведут себя "симметрично" по отношению к атрибуту .

В отношении "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" имеется многозначная зависимость Факультет

Абитуриент|Предмет.

Словами это можно выразить так - для каждого факультета (для каждого значения из

) каждый поступающий на него абитуриент (значение из ) сдает один и тот же список предметов (набор значений из ), и для каждого факультета (для каждого значения из ) каждый сдаваемый на факультете экзамен (значение из ) сдается одним и тем же списком абитуриентов (набор значений из ). Именно наличие этой зависимости не позволяет независимо вставлять и удалять кортежи. Кортежи обязаны вставляться и удаляться одновременно целыми наборами.

Замечание. Если в отношении

имеется не менее трех атрибутов , , и есть функциональная зависимость , то есть и многозначная зависимость .

Действительно, действуя формально в соответствии с определением многозначной зависимости, предположим, что в отношении

содержатся кортежи и . В силу функциональной зависимости отсюда следует, что . Но тогда кортеж в точности совпадает с кортежем и, следовательно, содержится в отношении . Таким образом, имеется многозначная зависимость .

Таким образом, понятие многозначной зависимости является обобщением понятия функциональной зависимости.

Определение 3. Многозначная зависимость

называется нетривиальной многозначной зависимостью, если не существует функциональных зависимостей и .

В отношении "Абитуриенты-Факультеты-Предметы" имеется именно нетривиальная многозначная зависимость Факультет

Абитуриент|Предмет. В силу нетривиальности этой зависимости мы не можем воспользоваться теоремой Хеза для декомпозиции отношения. Однако Фейджином Р. [52] доказана следующая теорема:

Теорема (Фейджина). Пусть

, , - непересекающиеся множества атрибутов отношения .

Декомпозиция отношения

на проекции и будет декомпозицией без потерь тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость .

Замечание. Если зависимость

является тривиальной, т.е. существует одна из функциональных зависимостей или , то получаем теорему Хеза.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Пусть декомпозиция отношения

на проекции и является декомпозицией без потерь. Докажем что .

Предположим, что отношение

содержит кортежи и . Необходимо доказать, что кортеж также содержится в . По определению проекций, кортеж содержится в , а кортеж содержится в . Тогда кортеж содержится в естественном соединении , а в силу того, что декомпозиция является декомпозицией без потерь, этот кортеж содержится и в . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть имеется многозначная зависимость

. Докажем, что декомпозиция отношения на проекции и является декомпозицией без потерь.

Как и в доказательстве теоремы Хеза, нужно доказать, что

для любого состояния отношения .

Включение

доказывается как в теореме Хеза. Такое включение выполняется всегда для любой декомпозиции отношения .

Докажем включение

. Пусть кортеж . Это означает, что в проекции содержится кортеж , а в проекции содержится кортеж . По определению проекции, найдется такое значение атрибута , что отношение содержит кортеж . Аналогично, найдется такое значение атрибута , что отношение содержит кортеж . Тогда по определению многозначной зависимости кортеж . Включение доказано. Достаточность доказана. Теорема доказана.