Примем за базовый период 1 год и обозначим целое числопериодов начисления за год через т, а длину периода начисления через h = 1/т лет, m =1,2,3,... . Тогда— соответствующая положительная годовая ставка, и в силу формулы она связана с эффективной годовой ставкой —— соотношением
Для простоты обозначимi— номинальная процентная ставка за один период начисления длиной h лет. Тогда из при h = m = 1 получаем
Для практики эффективную годовую ставку удобнее обозначать просто i.
Сделаем небольшое математическое пояснение. Для этого запишем коэффициент А(h) наращения эа любой период
(t, t + h) длиной h = 1/m на рассматриваемом интервале (О, T) в виде
Поскольку h мало, то различие между простыми и сложными процентами пренебрежимо мало. Так как A(0)=1, то— приращение 1 ден. ед. за малое время h (рис. 9.1, где h и т измеряются в годах).
Если А(т) дифференцируема в точке 0 справа, то
где g — угол наклона касательной к А(т) в точке т = 0.Из определения рассматриваемых ставок и результатов п. 2 § 8 следует, что если эффективная ставка i фиксирована, то номинальная ставка , при т —> и h = 1/т —> О монотонно убывает, оставаясь положительной. Поэтому у существует положительное предельное значение, которое мы обозначим через:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел 6 номинальной ставки при т —> называется силой роста или интенсивностью наращения за год при непрерывном начислении процентов. Величину 8 можно назвать также номинальной годовой ставкой при непрерывном начислении процентов.
ТЕОРЕМА 3.1. Эффективная годовая ставка i и номинальная годовая ставка связаны соотношением
Доказательство. В курсе "Алгебра и начала анализа" доказывается, что
е = 2,718282 ... — замечательное число Эйлера (основание натуральных логарифмов). Поэтому в нашем случае
СЛЕДСТВИЕ.Справедлива и следующая двойственная к теореме 3.1
ТЕОРЕМА 9.2. Эффективная годовая ставка d дисконтирования и номинальная годовая ставка связаны соотношением
Для доказательства достаточно перейти к пределу в (3.7) при, использовав при этом вышеприведенные формулы.Формула (3.6) и соотношение и (3.2) позволяют составить табл. 3.1, иллюстрирующую связь для нескольких значений i от 0,01 до 2) и при малых 1 до 0,10 достаточно близки. Однако с ростом 1" различие между тремя эквивалентными ставками быстро растет.
Таблица 3.1
| D | G | I |
| 0,00990 | 0,00995 | 0,01 |
| 0,04761 | 0,04879 | 0,05 |
| 0,09091 | 0,09531 | 0,10 |
| 0,16667 | 0,18232 | 0,20 |
| 0,20000 | 0,22314 | 0,25 |
| 0,33333 | 0,40547 | 0,50 |
| 0,42857 | 0,55962 | 0,75 |
| 0,50000 | 0,69315 | 1,00 |
Пример 3.1. Найдем наращенное за 5 лет значение суммы S(0)=10 руб., если оно реинвестируется по постоянной ставке =25% при следующих значениях m:
а) 1 раз в год,
б) 2 раза в год,в) непрерывно.г) Вычислим g для непрерывного начисления процентов.
Пример 3.2. Найдем коэффициент наращения A(т) за т = 1 год при реинвестировании по постоянной ставке = 1 ежегодно, ежеквартально, ежемесячно, ежечасно ежеминутно и непрерывно. Вычислим для каждого из случаев.
Таблица 3.2
| Период начисления | m | A(1)=(1+1/m)m | iэф = A(1)-1 |
| Ежегодное Ежеквартальное Ежемесячное Ежедневное Ежечасное Ежеминутное Непрерывное | 14123608640518400 | (1+1/1)1 =2(1+1/4)4 =2,441406(1+1/12)12 =2,613035(1+1/360)360 =2,714516(1+1/8640)8640 =2,718125(1+1/518400)51840=2,718276e=2,718282 | 11,4414061,6130351,7145161,7181251,7182761,718282 |
В зависимости от условий задачи может оказаться удобным принять один из четырех основных параметров , i, v и d за исходный и выразить через него значения трех остальных. В табл. 3.3 объединены ранее полученные соотношения.
Каждая строка этой таблицы показывает, как параметр, стоящий в обозначении этой строки, выражается через триостальные. Каждый столбец таблицы показывает, как через параметр, стоящий в обозначении этого столбца, выражаются три остальные.
Из теории рядов известно, что при малых х с точностью до членов третьего порядка малости включительно
Подставляя первую из этих формул в (3.4), а вторую — в (3.6) и пренебрегая членами третьего порядка, получим, что при i или не более 0,10-0,20 можно пользоваться приближенными соотношениями: Аналогичным образом из формулы для суммы бесконечного числа членов сходящейся прогрессии следует, что при малых i
Этими приближенными формулами можно пользоваться для ориентировочных расчетов. Однако в финансовой практике надо пользоваться калькулятором или таблицами даже при малых i и
Предположим, что в настоящий момент tо производится инвестиция в сумме S(tо) по постоянной эффективной годовой ставке i. Тогда в силу формулы (3.5) для сложных процентов наращенная к моменту t = tо + т сумма АV1 составит
где время измеряется в годах, а i и g = ln(1+i) — десятичные дроби.
Если же нам предстоит в будущий момент t > tо уплатить или получить сумму S(t), то ее современная приведенная стоимость РV в настоящий момент tо составит
Итак, нами доказана следующая важная
ТЕОРЕМА 3.3. При постоянной эффективной годовой ставке i к номинальной годовой ставке = ln(1 + i) коэффициент наращения зависит лишь от длины т интервала наращения, измеренной в годах, и составляет
Коэффициент дисконтирования за т лет равен
Заметим теперь, что А(т) — коэффициент наращения 1 ден. ед. на интервале (tо, tо + т} при движении по этому интервалу слева направо, т.е. в положительном направлении.
Равенство
можно интерпретировать как отрицательное наращение, совпадающее с дисконтированием, поскольку движение по интервалу (t, t +т) происходит справа налево, т.е. в отрицательном направлении. Аналогичным образом интерпретируется равенство
Следовательно, в рассматриваемом случае коэффициенты наращения и дисконтирования взаимозаменяемы и с математической точки зрения можно было бы пользоваться только одним из них. Однако для наглядности удобнее пользоваться двумя коэффициентами в соответствии с прямым содержательным смыслом каждого из них.
Таким образом, как при дискретном, так и при непрерывном начислении сложных процентов справедливо фундаментальное соотношение
В частности, при т = 1 получаем из (9.13)-(9.15) ранее установленные соотношения
Заметим теперь, что если функцию е задать на интервале то (рис. 9.2) при т > 0 она совпадает с А(т), а при т < 0 — с v(т):
При этом А'{0) = — интенсивность наращения за базовую единицу времени.
Пример 3.3. Сумма 2000 долл. положена в банк под схему непрерывного начисления процентов с постоянной интенсивностью роста = 10% за год. Найдем наращенную в конце года t сумму S(t) при t= 1, 2, 3, 5 и 10.
Решение. Здесь S(t) = 2000е, и ответ содержится в табл. 3.4.
Таблица 3.4
| t, лет | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| S(t), $ | 2000 | 2210,34 | 2442,81 | 2699,72 | 3297,44 | 5436,56 |
Пример 3.5. Заемщик В должен уплатить кредитору А по векселю1000 долл. на 01.01.96, 2500 долл. на 01.01.97, 3000 долл. на 01.07.97.Найдем современную стоимость долга С(t) на моменты:а) 01.01.94 и б) 01.04.95 при = 0,06 за год.
3.3.2.2. Анализ при переменной интенсивности наращения
Описание модели и основная теорема
В настоящее время в мире действует много электронных бирж, связанных в единую мирону ю систему с несколькими центрами — в Нью-Иорке, Лондоне, Франкфурте и Токио. По существу, финансовые операции производятся круглые сутки, много раз за одну секунду. Поэтому даже за минуту на электронной бирже происходят колебания взаимных курсов основных валют, акций, облигаций и т.д. Эти колебания обычно небольшие, но наряду с интервалами относительной стабильности могут появляться и интервалы с устойчивой тенденцией к понижению (отрицательный тренд) или повышению (положительный трена) курса тех или иных денежных инструментов, а иногда происходят скачки курса. Возникает много сложных и интересных проблем, связанных с анализом и прогнозированием курса валют и связанных с ним курсов ценных бумаг. Все это оказывает влияние и на процентные ставки по обыкновенным вкладам и депозитам, которые также изменяются, хотя и не так часто, как валютный курс.
В качестве примера на рис. 10.1 приводится график среднемесячного дохода в процентах по вкладам в облагаемые налогами взаимные фонды денежного рынка США за 1975-1986 гг., заимствованный из [7]. Взаимные фонды денежного рынка (рис. 10.2) распределяют доходы от своих активов среди акционеров. Поэтому доходы акционеров увеличиваются или уменьшаются в зависимости от изменения годовых процентных ставок на краткосрочные ценные бумаги, в которые взаимные фонды вкладывают свои средства.
Период бурного роста активов взаимных фондов (от менее 10 млрд. долл. в 1974 г. до более 200 млрд. долл. в 1981 г., см. рис. 10.2) связан с резким подъемом до 12-16% ставок годового дохода в конце 70-х — начале 80-х годов.
Поэтому необходимо иметь аналитическую модель, в которой 6 и, следовательно, все другие процентные ставки зависят от времени. С этой целью рассмотрим коэффициент А(t, t + h) наращения на интервале (t, t + h) и примем
Здесь ih(t) — мгновенное значение в момент t годовой номинальной процентной ставки, которая зависит не только от длины Д интервала наращения, но и от момента t его начала. Поэтому коэффициент наращения А(t, t + h) также зависит теперь не только от hг, но и от t. Примем, что при всех t в рассматриваемом интервале существует предел
где (t) — мгновенное значение интенсивности роста за базовую единицу времени (обычно 1 год) в момент t. Из (3.12), (3.12) следует, что