Синтез голографического изображения с помощью компьютера (стр. 2 из 4)

Фотографическое уменьшение и репродуцирование бинарных голограмм легче и более точно, чем серых голограмм. На качество бинарной голограммы совершенно не влияют нелинейные фотографические эффекты, поэтому в процессе фотоуменьшения бинарных голограмм требуется значительно менее строгий контроль величины экспозиции и режима проявления.

Другое преимущество бинарной голограммы в сравнении с серой голограммой состоит в том, что она направляет на восстанавливаемое изображение большую часть из падающего на нее света. Если в обычной голограмме светоотдача, или эффективность, равна 6,2%, то светоотдача бинарной голограммы достигает 10%. Помимо более высокой светоотдачи преимущество бинарной голограммы состоит в том, что при восстановлении возникает меньше шумов от света, рассеянного зернистой структурой фотоэмульсии. Бинарная голограмма может быть вычерчена плоттером. Восстановленное с бинарной голограммы в когерентном свете изображение имеет все свойства изображения, получаемого с обычной голограммы.

Бинарные голограммы являются эффективным промежуточным звеном, позволяющим осуществлять связь между цифровой и оптической формами представления информации. Один из методов цифровой голографии позволяет получать голограммы, которые при восстановлении падающий на голограмму свет направляют на создание одного изображения, т.е. имеют эффективность около 100%.

5. Получение цифровой голограммы Фурье и ее бинаризация

Рассмотрим более подробно процедуру получения цифровой голограммы. Сделаем это на примере голограммы Фурье. Как и всякие другие цифровые модели, цифровые модели голограмм воспроизводят процесс лишь приближенно, однако наиболее существенные свойства, подлежащие исследованию, представляются четко выделенными, в явном виде, что часто нельзя сделать в реальном процессе. Одно из основных приближений связано с переходом от непрерывных величин к дискретным, с которыми работает ЭВМ. Этот переход, уменьшая точность результатов, в то же время не вносит принципиальных изменений в процесс, так как с уменьшением шага дискретизации модель все более приближается к непрерывной. Степень такого приближения ограничена лишь возможностями ЭВМ. Кроме того, есть разумный предел плотности дискретизации, определяемый разрешающей способностью оптических элементов и фотоматериалов, участвующих в голографическом процессе. Этот предел для функций с ограниченным спектром определяется известной специалистам теоремой Котельникова, из которой следует, что если функция имеет спектр, ограниченный частотой f0, то она может быть представлена с большой точностью в точках xm, отстоящих одна от другой на расстоянии

. Теорема Котельникова легко распространяется на двумерные функции. В этом случае отсчеты берут в узлах прямоугольной сетки с размерами ячеек

.

Итак, переходя к цифровому моделированию голографического процесса, заменим части плоскостей П и Г, ограниченные прямоугольными апертурами, сетками. В узлах этих сеток зададим отсчеты поля. Эти сетки в плоскости предметов обозначим s П, а в плоскости голограммы - s Г . Для удобства последующих преобразований расположение сеток в плоскостях П и Г выберем таким, как показано на рис. 1. Правомерность такого выбора будет видна из дальнейшего. Чтобы параметры сеток отвечали теореме Котельникова, необходимо выполнение следующих соотношений:

Рис.1 Расположение сеток.

(1)

При этом суммарное число узлов сетки s П равно MN. Перейдем в плоскости П к новым координатам. Приняв размеры сетки Х=У=1, получаем:

. (2)

Следовательно, координаты узлов сетки s П выразятся так:

(3)

Число узлов сетки s Г выбирают так, чтобы было обеспечено взаимно однозначное соответствие между изображениями, заданными на s П и его дискретным преобразованием Фурье, заданным на s Г. Это число узлов также оказывается равным MN. Последнее определено тем, что в системе, состоящей из MN точек, полной является система тригонометрических функций с частотами

(4)

Соотношения между размерами сеток s П и s Г получим из (1) с учетом того, что

и

(5)

Выбор сеток в плоскостях П и Г означает, что все непрерывные функции в этих плоскостях могут быть представлены своими дискретными значениями в узлах сетки. Эти значения теперь являются функциями номеров узлов, т.е. m и n в плоскости П, p и q в плоскости Г. Для отличия от непрерывных величин аргументы дискретных величин будем обозначать индексами, например Еmn, вместо Е(хm,уn), Аpq вместо А(р,q). Установим соответствие между основными физическими величинами, рассмотренными ранее, и их цифровыми моделями. Поле в плоскости П представим так:

(6)

дискретное преобразование Фурье от hmn определит соотношение:

(7)

Примем c учетом (6)

(8)

Цифровая модель голограммы Фурье будет иметь вид

(9)

где

(10)

Величину

можно интерпретировать как коэффициент двойного ряда Фурье от дискретной функции, заданной на двумерном интервале MN . При этом в уравнении голограммы последнее слагаемое является не чем иным, как косинусным коэффициентом Фурье изображения предмета. С учетом изложеного уравнение цифровой голограммы Фурье, удобное для расчетов на ЭВМ, принимает вид:

(11)

Здесь в общем случае имеем

(12)

(13)

(14)

В двух первых формулах последние члены в прямоугольных скобках используются при наличии рассеивателя со случайной фазой. Если рассеиватель не используют, то они равны нулю и формула упрощается.

При компьютерном расчете структуры голограммы исходной информацией является изображение, которое разбивают на отдельные участки в соответствии с выбранной сеткой (т.е. из изображения делают выборку значений Еmn в узлах сетки), а также задаваемые параметры M, N, kГ,

. В результате расчета должны быть получены величины прозрачности голограммы в узлах сетки _Г.

Основой вычисления является выполнение дискретного преобразования Фурье (ДПФ), причем двумерное преобразование выполняется в два этапа: сначала по строкам, а затем по столбцам. Последовательность вычислений показана на рис.2. Для выполнения одномерных преобразований используется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Для удобства вычислений матрицу

, полученную после преобразования строк, транспонируют и повторное преобразование также выполняют по строкам. В результате двойного БПФ получают коэффициенты и по которым и определяют значения . Результаты вычислений вместе с заданными параметрами используют для расчета прозрачности голограммы по ее формуле. Эти значения и выдает машина.