Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод (стр. 2 из 5)
(2) 
(3)Выражения (2) определяют, что с любого склада можно взять продукта не более имеющихся там запасов. Выражения (3) означают, что каждый потребитель обеспечивается полностью его заявке. По смыслу задачи должно выполняться условие:
Последнее выражение означает, что запасов на складах достаточно для снабжения всех потребителей.
Суммарная стоимость перевозок для любого выбранного плана (1) определяется выражением:
(4)Транспортная задача линейного программирования по критерию стоимости формулируется следующим образом.
Найти такие значения xij (т.е. найти такой план перевозок (1)), удовлетворяющий условиям (2), (3), при которых суммарная стоимость перевозок (4) будет минимальной.
При больших m и n эта задача решается на ЭВМ. Для этого нужно ввести в машину исходные данные, помещенные в таблице 1 и воспользоваться разработанной программой. При небольших m и n задача может быть решена вручную с использованием общих методов решения. Для значений m и n до 5-6 задачу часто удается решить путем прикидочных расчетов, перебором вариантов и логических размышлений.
Задача. Для обеспечения ГСМ четырех танковых соединений имеется три склада. Известны запасы ГСМ и потребности в нем соединений. Определение стоимости доставки одной тонны ГСМ из каждого склада в любое соединение. Все исходные данные записаны в таблице 2.
Сформулировать задачу линейного программирования для данных условий и определить такой план снабжения ГСМ соединений, при котором суммарный расход на его провозку будет минимальным.
Решение: Обозначим через xij(i=1,2,3; j=1,2,3,4) количество ГСМ, планируемых для доставки с i-того склада (i=1,2,3) j-тому соединению (j=1,2,3,4).
Таблица 2.
  Склады | Соединения | Запасы ГСМ на складах | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | ||
   1 | x11=350 3* | x12=0 4 | x13=50 | x14=500 3* | 900 |
   2 | x21=0 5 | x22=200 4 | x23=0 7 | x24=0 8 | 300 |
| 3 | x31=0 4 | x32=250 3* | x33=350 5* | x34=0 4 | 60 |
| Потребность в ГСМ | 350 | 450 | 400 | 500 | |
Выбор планов зависит от запасов ГСМ на складах и потребностей в нем соединений, что математически определяется выражениями:
(21) 
(31)Суммарные расходы на перевозку ГСМ определяются линейными выражениями:
(41)Требуется определить такие значения xij (выбрать такой план) удовлетворяющий выражениям (21) и (31), которые критерий эффективности обращают в минимум. Так формулируется задача линейного программирования для данных условий.
Эта задача решается элементарными подсчетами и рассуждениями.
Отметим в столбцах звездочками минимальные значения стоимости перевозки одной тонны ГСМ. В каждое соединение нужно планировать доставку из того склада, для которого эта стоимость будет наименьшей или близкой к ней, но с учетом расходов на доставку ГСМ и в другие соединения. Очевидно, в 1-е и 4-е соединение целесообразно завозить ГСМ полностью из 1-го склада, поэтому целесообразно выбрать x11=350, x14=500. Во второе соединение выгодно доставить горючее целиком с 3-го склада. Но тогда будут большие расходы при доставке ГСМ в 3-е соединение из 2-го склада. Поэтому целесообразно выбрать x13=50, x33=350, т.е. завести горючее в 3-е соединение с 1-го и 3-го складов, а 200 т. для 2-го соединения завести из склада, x22=200, x32=250. Результаты расчетов занесены в таблице 2, по которой удобно проверить выполнение условий (21), (31), найдя суммы xij по строкам и столбцам.
При таком плане расходы будут минимальными:
Для сравнения, какую можно иметь экономию в средствах, выбрав оптимальный план, рассмотрим один из возможных планов:
x11=350, x12=450, x13=x14=0, x21=x22=x23=0,
x24=300, x31=x32=0, x33=400, x34=200
При этом плане стоимость перевозок будет равна:
Она больше на 1950 единиц Kmin, что составляет более чем 30%.
Полученное оптимальное решение является основой для применения объективного решения на снабжение ГСМ соединений с учетом конкретной обстановки.
2.ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СРЕДСТВ ПОРАЖЕНИЯ.
Задачи оптимального распределения средств поражения в общем виде формулируются так: имеется некоторое количество средств поражения и целей. Требуется так распределить средства поражения по целям, чтобы общий эффект применения был в определенном смысле оптимален.
Поражение противника является одним из важных элементов боевых действий. Поэтому решение задач на поражение является важным этапом при планировании и управлении боевыми действиями.
Различают два основных типа задач целераспределения:
- для средств поражения, находящихся в обороне;
- для средств поражения нападения;
Распределение средств поражения обороны осуществляется в ходе боевых действий, выявляемые цели и возникающие условия заранее неизвестны и во многом определяются противником. Расчеты нужно производить очень быстро, что возможно при наличии современных вычислительных средств.
Распределение средств нападения по выявленным целям может быть спланировано заранее на основе расчетов. Однако резкой границы между этими вариантами нет потому, что в обоих случаях выявляются новые цели, изменяются условия и потребуется производить перерасчеты.
Задача распределения средств поражения при ведении боевых действий в полной мере очень сложна и требует учета большого числа факторов. Некоторые же частные задачи успешно решаются с помощью линейного программирования.
Рассмотрим первую из таких задач. Имеется m различных средств поражения и n целей. Принимаются следующие допущения:
- число средств поражения не превосходит числа целей m£n;
- цели имеют разную важность, определяемую коэффициентом важности kj (j=1,2,…,n);
- за каждой целью не может быть закреплено более одного средства поражения, то есть должно быть обстреляно максимальное число целей;
- известны вероятности pij поражения i-ым средством j-ой цели, которые составляют таблицу вероятностей поражения
: 
(5)Таблица вероятности поражения вычисляется по соответствующим формулам теории стрельбы.
Закрепление или не закрепление i-того средства поражения за j-той целью выражается величиной xij, принимающей значение 1, когда имеется закрепление, и 0, когда его нет.
План распределения средств по целям будет определяться таблицей (таблицей 1). За критерий эффективности в общем случае выберем взвешенное математическое описание числа уничтоженных целей, которое определяется выражением
(6)