В некоторых приложениях может потребоваться быстро найти кратчайший маршрут между всеми парами узлов в сети. Если нужно вычислить большую часть из N2 возможных путей, может быть быстрее вычислить все возможные пути вместо того, чтобы находить только те, которые нужны.
Можно записать кратчайшие маршруты, используя два двумерных массива, Dist и InLinks. В ячейке Dist(I, J) находится кратчайший маршрут из узла I в узел J, а в ячейке InLinks(I, J) — связь, которая ведет к узлу J в кратчайшем пути из узла I в узел J. Эти значения аналогичны значениям Dist и InLink в классе узла в предыдущем алгоритме.
Один из способов найти все кратчайшие маршруты заключается в том, чтобы построить деревья кратчайшего маршрута с корнем в каждом из узлов сети при помощи одного из предыдущих алгоритмов, и затем сохранить результаты в массивах Dists и InLinks.
========335
Другой метод вычисления всех кратчайших маршрутов последовательно строит пути, используя все больше и больше узлов. Вначале алгоритм находит все кратчайшие маршруты, которые используют только первый узел и узлы на концах пути. Другими словами, для узлов J и K алгоритм находит кратчайший маршрут между этими узлами, который использует только узел с номером 1 и узлы J и K, если такой путь существует
Затем алгоритм находит все кратчайшие маршруты, которые используют только два первых узла. Затем он строит пути, используя первые три узла, первые четыре узла, и так далее до тех пор, пока не будут построены все кратчайшие маршруты, используя все узлы. В этот момент, поскольку кратчайшие маршруты могут использовать любой узел, алгоритм найдет все кратчайшие маршруты в сети.
Заметьте, что кратчайший маршрут между узлами J и K, использующий только первые I узлов, включает узел I, только если Dist(J, K) > Dist(J, I) + Dist(I, K). Иначе кратчайшим маршрутом будет предыдущий кратчайший маршрут, который использовал только первые I - 1 узлов. Это означает, что когда алгоритм рассматривает узел I, требуется только проверить выполнение условия Dist(J, K) > Dist(J, I) + Dist(I, K). Если это условие выполняется, алгоритм обновляет кратчайший маршрут из узла J в узел K. Иначе старый кратчайший маршрут между этими двумя узлами остался бы таковым.
В некоторых сетях, в особенности сетях улиц, бывает полезно добавить штраф и запреты на повороты (turn penalties) В сети улиц автомобиль должен замедлить движение перед тем, как выполнить поворот. Поворот налево может занимать больше времени, чем поворот направо или движение прямо. Некоторые повороты могут быть запрещены или невозможны из‑за наличия разделительной полосы. Эти аспекты можно учесть, вводя в сеть штрафы за повороты.
Часто важны только некоторые штрафы за повороты. Может понадобиться предотвратить выполнение запрещенных или невозможных поворотов и присвоить штрафы за повороты лишь на нескольких ключевых перекрестках, не определяя штрафы для всех перекрестков в сети. В этом случае можно разбить каждый узел, для которого заданы штрафы, на несколько узлов, которые будут неявно учитывать штрафы.
Предположим, что требуется добавить один штраф за поворот на перекрестке налево и другой штраф за поворот направо. На рис. 12.12 показан перекресток, на котором требуется применить эти штрафы. Число рядом с каждой связью соответствует ее цене. Требуется применить штрафы за вход в узел A по связи L1, и затем выход из него по связям L2 или L3.
Для применения штрафов к узлу A, разобьем этот узел на два узла, по одному для каждой из покидающих его связей. В данном примере, из узла A выходят две связи, поэтому узел A разбивается на два узла A1 и A2, и связи, выходящие из узла A, заменяются соответствующими связями, выходящими из полученных узлов. Можно представить, что каждый из двух образовавшихся узлов соответствует входу в узел A и повороту в сторону соответствующей связи.
======336
@Рис. 12.12. Перекресток
Затем связь L1, входящая в узел A, заменяется на две связи, входящие в каждый из двух узлов A1 и A2. Цена этих связей равна цене исходной связи L1 плюс штрафу за поворот в соответствующем направлении. На рис. 12.13 показан перекресток, на котором введены штрафы за поворот. На этом рисунке штраф за поворот налево из узла A равен 5, а за поворот направо —2.
Помещая информацию о штрафах непосредственно в конфигурацию сети, мы избегаем необходимости модифицировать алгоритмы поиска кратчайшего маршрута. Эти алгоритмы будут находить правильные кратчайшие маршруты с учетом штрафов за повороты.
При этом придется все же слегка изменить программы, чтобы учесть разбиение узлов на несколько частей. Предположим, что требуется найти кратчайший маршрут между узлами I и J, но узел I оказался разбит на несколько узлов. Полагая, что можно покинуть узел I по любой связи, можно создать ложный узел и использовать его в качестве корня дерева кратчайшего маршрута. Соединим этот узел связями с нулевой ценой с каждым из узлов, получившихся после разбиения узла I. Тогда, если построить дерево кратчайшего маршрута с корнем в ложном узле, то при этом будут найдены все кратчайшие маршруты, содержащие любой из этих узлов. На рис. 12.14 показан перекресток с рис. 12.13, связанный с ложным корневым узлом.
@Рис. 12.13. Перекресток со штрафами за повороты
=======337
@Рис. 12.14. Перекресток, связанный с ложным корнем
Обрабатывать случай поиска пути к узлу, который был разбит на несколько узлов, проще. Если требуется найти кратчайший маршрут между узлами I и J, и узел J был разбит на несколько узлов, то вначале, как обычно, нужно найти дерево кратчайшего маршрута с корнем в узле I. Затем проверяются все узлы, на которые был разбит узел J и находится ближайший из них к корню дерева. Путь к этому узлу и есть кратчайший маршрут к исходному узлу J.
Предыдущий метод будет не слишком эффективным, если вы хотите ввести штрафы за повороты для большинства узлов в сети. Лучше будет создать совершенно новую сеть, которая будет включать информацию о штрафах.
· Для каждой связи между узлами A и B в исходной сети в новой сети создается узел AB;
· Если в исходной сети соответствующие связи были соединены, то полученные узлы также соединяются между собой. Например, предположим, что в исходной сети одна связь соединяла узлы A и B, а другая — узлы B и C. Тогда в новой сети нужно создать связь, соединяющую узел AB с узлом BC;
· Цена новой связи складывается из цены второй связи в исходной сети и штрафа за поворот. В этом примере цена связи между узлом AB и узлом BC будет равна цене связи, соединяющей узлы B и C в исходной сети плюс штрафу за поворот при движении из узла A в узел B и затем в узел C.
На рис. 12.15 изображена небольшая сеть и соответствующая новая сеть, представляющая штрафы за повороты. Штраф за поворот налево равен 3, за поворот направо — 2, а за «поворот» прямо — нулю. Например, так как поворот из узла B в узел E — это левый поворот в исходной сети, штраф для связи между узлами BE и EF в новой сети равен 3. Цена связи, соединяющей узлы E и F в исходной сети, равна 3, поэтому полная цена новой связи равна 3 + 3 = 6.
=======338
@Рис. 12.15. Сеть и соответствующая ей сеть со штрафами за повороты
Предположим теперь, что требуется найти для исходной сети дерево кратчайшего маршрута с корнем в узле D. Чтобы сделать это, создадим в новой сети ложный корневой узел, затем построим связи, соединяющие этот узел со всеми связями, которые покидают узел D в исходной сети. Присвоим этим связям ту же цену, которую имеют соответствующие связи в исходной сети. На рис. 12.16 показана новая сеть с рис. 12.15 с ложным корневым узлом, соответствующим узлу D. Дерево кратчайшего маршрута в этой сети нарисовано жирной линией.
Чтобы найти кратчайший маршрут из узла D в узел C, необходимо проверить все узлы в новой сети, которые соответствуют связям, заканчивающимся в узле C. В этом примере это узлы BC и FC. Ближайший к ложному корню узел соответствует кратчайшему маршруту к узлу C в исходной сети. Узлы в кратчайшем маршруте в новой сети соответствуют связям в кратчайшем маршруте в исходной сети.
@Рис. 12.16. Дерево кратчайшего маршрута в сети со штрафами за повороты
========339
На рис. 12.16 кратчайший маршрут начинается с ложного корня, идет в узел DE, затем узлы EF и FC и имеет полную цену 16. Этот путь соответствует пути D, E, F, C в исходной сети. Прибавив один штраф за левый поворот E, F, C, получим, что цена этого пути в исходной сети также равна 16.
Заметьте, что вы не нашли бы этот путь, если бы построили дерево кратчайшего маршрута в исходной сети. Без учета штрафов за повороты, кратчайшим маршрутом из узла D в узел C был бы путь D, E, B, C с полной ценой 12. С учетом штрафов цена этого пути равна 17.
Вычисления кратчайшего маршрута используются во многих приложениях. Очевидным примером является поиск кратчайшего маршрута между двумя точками в уличной сети. Многие другие приложения используют метод поиска кратчайшего маршрута менее очевидными способами. Следующие разделы описывают некоторые из этих приложений.
Предположим, что имеется карта города, на которую нанесены все пожарные депо. Может потребоваться определить для каждой точки города ближайшее к ней депо. На первый взгляд это кажется трудной задачей. Можно попытаться рассчитать дерево кратчайшего маршрута с корнем в каждом узле сети, чтобы найти, какое депо расположено ближе всего к каждому из узлов. Или можно построить дерево кратчайшего маршрута с корнем в каждом из пожарных депо и записать расстояние от каждого из узлов до каждого из депо. Но существует намного более быстрый метод.
Создадим ложный корневой узел и соединим его с каждым из пожарных депо связями с нулевой ценой. Затем найдем дерево кратчайшего маршрута с корнем в этом ложном узле. Для каждой точки в сети кратчайший маршрут из ложного корневого узла к этой точке пройдет через ближайшее к этой точке пожарное депо. Чтобы найти ближайшее к точке пожарное депо, нужно просто проследовать по кратчайшему маршруту от этой точки к корню, пока на пути не встретится одно из депо. Построив всего одно дерево кратчайшего маршрута, можно найти ближайшие пожарные депо для каждой точки в сети.