Можно использовать деревья решений для моделирования различных задач. Поиск наилучшего решения задачи соответствует при этом поиску наилучшего пути в дереве. К сожалению, деревья решений для многих интересных задач имеют огромный размер, поэтому решить такие задачи методом полного перебора можно только для очень небольших задач.
Метод ветвей и границ позволяет отсекать большую часть ветвей в некоторых деревьях решений, что позволяет получать точное решение для задач гораздо большего размера.
Тем не менее, для самых больших задач, даже применение метода ветвей и границ не может помочь. В этом случае, для получения приблизительного решения необходимо использовать эвристический подход для получения приблизительных решений. При помощи методов случайного поиска и последовательных приближений можно найти приемлемое решение, даже если неизвестно, будет ли оно наилучшим возможным решением задачи.
==========223
Глава 9. Сортировка
Сортировка — одна из наиболее активно изучаемых тем в компьютерных алгоритмах по ряду причин. Во-первых, сортировка — это задача, которая часть встречается во многих приложениях. Почти любой список данных будет нести больше смысла, если его отсортировать каким‑либо образом. Часто требуется сортировать данные несколькими различными способами.
Во‑вторых, многие алгоритмы сортировки являются интересными примерами программирования. Они демонстрируют важные методы, такие как частичное упорядочение, рекурсия, слияние списков и хранение двоичных деревьев в массиве.
Наконец, сортировка является одной из немногих задач с точными теоретическими ограничениями производительности. Можно показать, что время выполнения любого алгоритма сортировки, который использует сравнения, составляет порядка O(N * log(N)). Некоторые алгоритмы достигают теоретического предела, то есть они являются оптимальными в этом смысле. Есть даже ряд несколько алгоритмов, которые используют другие методы вместо сравнений, которые выполняются быстрее, чем за время порядка O(N * log(N)).
В этой главе описаны некоторые алгоритмы сортировки, которые ведут себя по‑разному в различных обстоятельствах. Например, пузырьковая сортировка опережает быструю сортировку по скорости работы, если сортируемые элементы уже были почти упорядочены, но работает медленнее, если элементы были расположены хаотично.
Особенности каждого алгоритма описаны в параграфе, в котором он обсуждается. Перед тем как перейти к рассмотрению отдельных алгоритмов, вначале в этой главе обсуждаются вопросы, которые влияют на все алгоритмы сортировки.
При сортировке элементов данных, программа организует из них некоторое подобие структуры данных. Этот процесс может быть быстрым или медленным в зависимости от типа элементов. Перемещение целого числа на новое положение в массиве может быть намного быстрее, чем перемещение определенной пользователем структуры данных. Если эта структура представляет собой список данных о сотруднике, содержащий тысячи байт информации, копирование одного элемента может занять достаточно много времени.
========225
Для повышения производительности при сортировке больших объектов можно помещать ключевые поля данных, используемые для сортировки, в таблицу индексов. В этой таблице находятся ключи к записям и индексы элементов другого массива, в котором и находятся записи данных. Например, предположим, что вы собираетесь отсортировать список записей о сотрудниках, определяемый следующей структурой:
Type Emloyee
ID As Integer
LastName As String
FirstName As String
<и т.д.>
End Type
‘ Выделить память под записи.
Dim EmloyeeData(1 To 10000)
Чтобы отсортировать сотрудников по идентификационному номеру, нужно создать таблицу индексов, которая содержит индексы и значения ID values из записей. Индекс элемента показывает, какая запись в массиве EmployeeData содержит соответствующие данные.
Type IdIndex
ID As Integer
Index As Integer
End Type
‘ Таблица индексов.
Dim IdIndexData(1 To 10000)
Проинициализируем таблицу индексов так, чтобы первый индекс указывал на первую запись данных, второй — на вторую, и т.д.
For i = 1 To 10000
IdIndexData(i).ID = EmployeeData(i).ID
IdIndexData(i).Index = i
Next i
Затем, отсортируем таблицу индексов по идентификационному номеру ID. После этого, поле Index в каждом элементе IdIndexData указывает на соответствующую запись данных. Например, первая запись в отсортированном списке — это EmployeeData(IdIndexData(1).Index). На рис. 9.1 показана взаимосвязь между индексом и записью данных до, и после сортировки.
=======226
@Рисунок 9.1. Сортировка с помощью таблицы индексов
Для того, чтобы сортировать данные в разном порядке, можно создать несколько различных таблиц индексов и управлять ими по отдельности. В приведенном примере можно было бы создать еще одну таблицу индексов, упорядочивающую сотрудников по фамилии. Подобно этому списки со ссылками могут сортировать список различными способами, как показано во 2 главе. При добавлении или удалении записи необходимо обновлять каждую таблицу индексов независимо.
Помните, что таблицы индексов занимают дополнительную память. Если создать по таблице индексов для каждого из полей данных, объем занимаемой памяти более чем удвоится.
Иногда можно хранить ключи списка в комбинированной или сжатой форме. Например, можно было бы объединить (combine) в программе два поля, соответствующих имени и фамилии, в одни ключ. Это позволило бы упростить и ускорить сравнение. Обратите внимание на различия между двумя следующими фрагментами кода, которые сравнивают две записи о сотрудниках:
‘ Используя разные ключи.
If emp1.LastName > emp2.LastName Or _
(emp1.LastName = emp2.LastName And _
And emp1.FirstName > emp2.FirstName) Then
DoSomething
‘ Используя объединенный ключ.
If emp1.CominedName > emp2.CombinedName Then
DoSomething
========227
Также иногда можно сжимать (compress) ключи. Сжатые ключи занимают меньше места, уменьшая размер таблиц индексов. Это позволяет сортировать списки большего размера без перерасхода памяти, быстрее перемещать элементы в списке, и часто также ускоряет сравнение элементов.
Одни из методов сжатия строк — кодирование их целыми числами или данными другого числового формата. Числовые данные занимают меньше места, чем строки и сравнение двух численных значений также происходит намного быстрее, чем сравнение двух строк. Конечно, строковые операции неприменимы для строк, представленных числами.
Например, предположим, что мы хотим закодировать строки, состоящие из заглавных латинских букв. Можно считать, что каждый символ — это число по основанию 27. Необходимо использовать основание 27, чтобы представить 26 букв и еще одну цифру для обозначения конца слова. Без отметки конца слова, закодированная строка AA шла бы после строки B, потому что в строке AA две цифры, а в строке B — одна.
Код по основанию 27 для строки из трех символов дает формула 272 * (первая буква - A + 1) + 27 * (вторая буква - A + 1) + 27 * (третья буква - A + 1). Если в строке меньше трех символов, вместо значения (третья буква - A + 1) подставляется 0. Например, строка FOX кодируется так:
272 * (F - A + 1) + 27 * (O - A + 1) + (X - A +1) = 4803
Строка NO кодируется следующим образом:
272 * (N - A + 1) + 27 * (O - A + 1) + (0) = 10.611
Заметим, что 10.611 больше 4803, поскольку NO > FOX.
Таким же образом можно закодировать строки из 6 заглавных букв в виде числа в формате long и строки из 10 букв — как число в формате double. Две следующие процедуры конвертируют строки в числа в формате double и обратно:
Const STRING_BASE = 27
Const ASC_A = 65 ‘ ASCII код для символа "A".
‘ Преобразование строки с число в формате double.
‘
‘ full_len — полная длина, которую должна иметь строка.
‘ Нужна, если строка слишком короткая (например "AX" —
‘ это строка из трех символов).
Function StringToDbl (txt As String, full_len As Integer) As Double
Dim strlen As Integer
Dim i As Integer
Dim value As Double
Dim ch As String * 1
strlen = Len(txt)
If strlen > full_len Then strlen = full_len
value = 0#
For i = 1 To strlen
ch = Mid$(txt, i, 1)
value = value * STRING_BASE + Asc(ch) - ASC_A + 1
Next i
For i = strlen + 1 To full_len
value = value * STRING_BASE
Next i
End Function
‘ Обратное декодирование строки из формата double.
Function DblToString (ByVal value As Double) As String
Dim strlen As Integer
Dim i As Integer
Dim txt As String
Dim Power As Integer
Dim ch As Integer
Dim new_value As Double
txt = ""
Do While value > 0
new_value = Int(value / STRING_BASE)
ch = value - new_value * STRING_BASE
If ch <> 0 Then txt = Chr$(ch + ASC_A - 1) + txt
value = new_value
Loop
DblToString = txt
End Function
===========228
В табл. 9.1 приведено время выполнения программой Encode сортировки 2000 строк различной длины на компьютере с процессором Pentium и тактовой частотой 90 МГц. Заметим, что результаты похожи для каждого типа кодирования. Сортировка 2000 чисел в формате double занимает примерно одинаковое время независимо от того, представляют ли они строки из 3 или 10 символов.
========229
@Таблица 9.1. Время сортировки 2000 строк с использованием различных кодировок в секундах
Можно также кодировать строки, состоящие не только из заглавных букв. Строку из заглавных букв и цифр можно закодировать по основанию 37 вместо 27. Код буквы A будет равен 1, B — 2, … , Z — 26, код 0 будет 27, … , и 9 — 36. Строка AH7 будет кодироваться как 372 * 1 + 37 * 8 + 35 = 1700.
Конечно, при использовании большего основания, длина строки, которую можно закодировать числом типа integer, long или double будет соответственно короче. При основании равном 37, можно закодировать строку из 2 символов в числе формата integer, из 5 символов в числе формата long, и 10 символов в числе формата double.
Чтобы облегчить сравнение различных алгоритмов сортировки, программа Sort демонстрирует большинство алгоритмов, описанных в этой главе. Сортировка позволяет задать число сортируемых элементов, их максимальное значение, и порядок расположения элементов - прямой, обратный или расположение в случайном порядке. Программа создает список случайно расположенных чисел в формате long и сортирует его, используя выбранный алгоритм. Вначале сортируйте короткие списки, пока не определите, насколько быстро ваш компьютер может выполнять операции сортировки. Это особенно важно для медленных алгоритмов сортировки вставкой, сортировки вставкой с использованием связного списка, сортировки выбором, и пузырьковой сортировки.