Графика в системе Maple V (стр. 7 из 12)

Рис. 13.43. Подготовка анимационного ЗО-графика.

13.6.12. Использование для анимации опции insequence

Еще один путь создания анимационных рисунков — создание ряда графических объектов р1, р2, рЗ и т.д. и их последовательный вывод с помощью функции:

display(pl,p2,p3,...,insequence=true) display3d(pl,p2,p3...,insequence=true)

Здесь основным моментом является применение опции insequence=true. Именно она обеспечивает вывод одного за другим серии графических объектов р1, р2, рЗ и т.д.

13.7. Графика пакета plottools 13.7.1. Состав пакета plottools

Инструментальный пакет графики plottools служит для создания графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве: отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т.д. Его применение позволяет разнообразить графические построения и строить множество графиков специального назначения. В пакет входят следующие графические примитивы:

arc arrow circle cone cuboid curve cutin cutout cylinder disk dodecahedron ellipse ellipticArc hemisphere hexahedron hyperbola icosahedron line octahedron pieslice point polygon rectangle semitorus sphere tetrahedron torus

Вызов примитивов пакета осуществляется после загрузки пакета в память ПК командой with(plottools). Обычно примитивы используются для задания графических объектов, которые затем выводятся функцией display. Возможно, применение этих примитивов совместно с различными графиками.

13.7.2. Примеры применения примитивов пакета plottools

Большинство примитивов пакета plottools имеет довольно очевидный синтаксис. Например, для задания дуги используется примитив

агс(с, г, а..Ь, ...),

где с — список с координатами центра окружности, к которой принадлежит дуга, г — радиус этой окружности, а..Ь — диапазон углов. На месте многоточия могут стоять обычные опции, задающие цвет дуги, толщину ее линии и т.д. Все формы записи графических примитивов и их синтаксис можно найти в справочной системе.

На рис. 13.44 показано применение нескольких примитивов двумерной графики для построения дуги, окружности, закрашенного красным цветом эллипса и отрезка прямой. Кроме того, на графике показано построение синусоиды. Во избежание искажений пропорций фигур надо согласовывать диапазон изменения переменной х.

Рис. 13.44. Примеры применения примитивов 20-графики пакета plottools.

Аналогичным образом используются примитивы построения трехмерных фигур. На рис. 13.45 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве. Нетрудно заметить, что графика пакета приблизительно (с точностью до сегмента фигур) вычисляет области пересечения фигур. С помощью контекстно-зависимого меню правой клавиши мыши (рис. 13.45) можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т.д. В частности, фигуры на рис. 13.45 показаны в перспективе.

Рис. 13.45. Примеры применения примитивов 30-графики пакета plottools.

С другими возможностями этого пакета читатель теперь справится самостоятельно или с помощью данных справочной системы.

13.7.3. Построение графиков из множества фигур

В ряде случаев бывает необходимо строить графики, представляющие собой множество однотипных фигур. Для построения таких графиков полезно использовать функцию повторения seq(f,i=a..b). На рис. 13.46 показано построение фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг одной из вершин.

Рис. 13.46. Построение фигуры, образованной вращением прямоугольника.

В этом примере полезно обратить внимание еще и на функцию поворота фигуры — rotate. Именно сочетание этих двух функций (мультиплицирования и поворота базовой фигуры — прямоугольника) позволяет получить сложную фигуру, показанную на рис. 13.46.

13.8. Графическое представление решений дифференциальных уравнений

13.8.1. Применение функции odeplot пакета plots

Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots. Эта функция используется в следующем виде:

odeplot(s,vars,r,o),

где s — запись (в выходной форме) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, полученных при их численном решении функцией dsolve, vars — переменные, r — параметр, задающий пределы решения (например, а..Ь) и о — не обязательные дополнительные опции.

На рис. 13.47 представлен пример решения одного дифференциального уравнения с выводом решения у(х) с помощью функции odeplot.

Рис. 13.47. Пример решения одного дифференциального уравнения.

В этом примере решается дифференциальное уравнение y'(x)=cos(x"2*y(x))

при у(0)=2 и х, меняющемся от -5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной diff. Результатом построения является график решения у(х).

На другом примере (рис. 13.48) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнении. Здесь с помощью функции odeplot строятся графики двух функций — у(х) и z(x).

Рис. 13.48. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнении

В этом примере решается система:

y'(x)=z(x) z'(x)=3*sin(y(x))

при начальных условиях у(0)=0, z(0)=l и х, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25.

Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и z(x) при изменении х в определенных пределах. Рис. 13.49 представляет построение фазового портрета для системы, представленной выше.

Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение. Он более трудоемок при построениях, поэтому возможность Maple V быстро строить фазовые портреты трудно переоценить.

13.8.2. Функция DEplot из пакета DEtools

Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools. В него входит ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных уравнений. Основной из этих функций является функция DEplot. '

Рис. 13.49. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета.

Функция DEplot может записываться в нескольких формах:

DEplot(deqns, vars, trange, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, inits, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, yrange, xrange, eqns) DEplot(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, eqns)

Здесь: deqns — лист (множество) с системой дифференциальных уравнении первого порядка или одиночное уравнение любого порядка, vars — зависимая переменная (лист) либо множество зависимых переменных, trange — область изменения независимой переменной t, inits — начальные условия для решения, yrange — область изменения для первой зависимой переменной, xrange — область изменения для второй зависимой переменной, eqns — опция, записываемая в виде keyword=value. Замена имен переменных другими в данном случае не допустима.

Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге-Кутта 4-го порядка, что соответствует опции method=classi-cal[rk4]. Возможна спецификация и других методов (см. главу 10). В каталоге EXAMPLE системы Maple V R4 можно найти файл deplot.mws с многочисленными примерами применения функции DEplot.

С функцией DEplot могут использоваться следующие опции о:

arrows = type — тип стрелки векторного поля ('SMALL',

'MEDIUM', 'LARGE', 'LINE' или 'NONE');

colour, color = arrowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);

dirgrid = [integer,integer] — число линий сетки (о умолчанию 20(20);

iterations = integer — количество итераций, представленное целым

числом;

linecolour, linecolor = line_info— цвет линии (задается 5 способами);

method='rk4' — задает метод решени 'euler', 'backeuler',

'impeuler' и 'rk4';

obsrange = TRUE,FALSE — задает (при TRUE) прерывание вычислений,

если кривая решения выходит из области обзора;

scene = [name,name] — задает имена зависимых переменных, для

которых строится график;

stepsize = h — шаг решения, по умолчанию равный

abs((b-a))/20, и представленный вещественным

значением.

На рис. 13.50 показано решение системы дифференциальных уравнений

х- (t)=x(t)*(l-y(t)) у' (t)=0,3*y(t)*(x(t)-l),

описывающих модель Лотка-Вольтерра при заданных в документе изменениях t, x(t) и y(t). Решение представлено в виде векторного поля, стрелки которого становятся касательными к кривым решения. Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля.

Рис. 13.50. Решение системы дифференциальных уравнении Лотка-Вольтерра с выводом в виде графика векторного поля.

Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.51. Здесь помимо векторного поля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: х(0)= у(0)=1.2 и х(0)=1 и у(0)=0.7.

Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.