Задание 4. Разделить отрезок АВ пополам.
Алгоритм 4. 1. 01=окр (A, |АВ|)
2. 02=окр (B, |AВ|)
3. {С1.С2}=01∩02
4. l1=пр (Cl. C2)
5. M=l1∩AВ
6. стоп
Указание 5 означает: построить точку пересечения прямой l1 и отрезка АВ.
Задание 5. Через данную точку О провести прямую l, перпендикулярную данной прямой а.
Алгоритм 5. 1. если ОÏа то идти к 4
2. 01=окр (О, +)
3. идти к 6
4. В=t (а)
5. 01=окр (0,2|OB|)
6. {A, С} =01∩а
7. 02=окр (A, |AС|)
8. 03=окр (С, |AС|)
9. {D,K}=02∩03
10.l=пр (D,K)
11. стоп
Указание 5 здесь означает: построить окружность 01 с центром в точке О и радиусом, равным удвоенному расстоянию между точками О и В.
Использование алгоритмов
Приведенные выше алгоритмы мы будем считать основными простейшими алгоритмами для решения задач на построение при помощи циркуля и линейки. Эти алгоритмы можно использовать для решения других задач на построение.
Для удобства обращения к алгоритмам каждому алгоритму будем давать название (имя) и указывать исходные данные для алгоритма (аргументы), а также результаты его выполнения.
Удобно, указывая аргументы и результаты алгоритма (параметры), одновременно указывать их тип: рац—рациональное число, цел—целое число, пр—прямая, ппр—полупрямая, т — точка, окр—окружность, тр—треугольник, уг—угол, ппл—полуплоскость и т. д.
Название алгоритма, указание его параметров и их типов будем записывать в виде заголовка алгоритма перед первым его указанием. В качестве образца заголовка алгоритма приведем заголовок для алгоритма 1:
алг трг (рац а, b, с; тр ∆)
арг а, b, с
рез ∆
Имя алгоритма будем помещать в первой строчке заголовка после служебного слова алг— Имя алгоритма 1 состоит из трех букв — трг. После имени алгоритма в скобках указываются типы параметров алгоритма. Параметры одного типа разделяются запятыми. Различные типы параметров разделяются точкой с запятой. Во второй строчке после служебного слова арг через запятую перечисляются аргументы алгоритма, в третьей строчке после служебного слова рез перечисляются результаты алгоритма.
После заголовка алгоритма будем записывать служебное слово нач, после которого помещаются указания алгоритма. После последнего указания алгоритма будем записывать служебное слово кон.
Рассмотренным выше алгоритмам 2, 3, 4, 5 дадим соответственно имена: уг, бис, дел, пер.
При использовании известного алгоритма в решении задач достаточно в качестве отдельного указания записать обращение к алгоритму, состоящее из названия алгоритма и списка его параметров, причем тип параметров в обращении не указывается.
Параметры, являющиеся аргументами, должны быть определены к моменту выполнения алгоритма, т. е. заданы по условию или предварительно построены (числовые вычислены).
Рассмотрим следующий пример:
Задание 6. Построить треугольник с заданными сторонами а, b, с, если а =2, b=3, с =4.
Для выполнения задания будем использовать алгоритм трг, в таком случае требуемый алгоритм может иметь следующий вид:
Алгоритм 6. ал г тр1 (рац а, b, с; тр ∆)
арг а, b, с
рез ∆
нач
1. а=2
2. b=3
3. с=4
4. трг (а, b, с, ∆)
5. стоп
6.кон
Первые три указания задают аргументам алгоритма трг числовые значения. Указание 4 алгоритма тр1 требует применения алгоритма трг, который по заданным значениям длин сторон указывает способ построения искомого треугольника.
Указания 1—3 последнего алгоритма можно опустить, в этом случае искомый алгоритм будет иметь следующие указания:
1. трг (2, 3, 4, ∆)
2. стоп
Алгоритм-функция
Рассмотрим другую форму записи обращения к алгоритму. Рассматриваемое выше указание для построения треугольника по трем заданным сторонам трг (2, 3, 4, ∆) можно записать следующим образом: ∆=трг (2, 3, 4). Указания такого вида будем называть указаниями, имеющими форму функции.
Всякое обращение к известным алгоритмам можно записать в виде указания, имеющего форму функции. В свою очередь всякое указание на построение можно рассматривать как использование алгоритма, обращение к которому имеет форму функции.
Так, например, указание 01=окр (А, р) можно рассматривать как обращение к алгоритму с именем окр и параметрами A и р, являющимися аргументами алгоритма. Результат построения по данному алгоритму обозначается именем 01.
Такой алгоритм может состоять, например, из следующих указаний:
1. Сделать раствор циркуля равным р.
2. Поставить одну ножку циркуля в точку А.
3. Второй ножкой циркуля описать окружность.
4. Закончить действия.
Для указаний приведенного алгоритма можно также ввести сокращения и обозначения, удобные для записи, однако это делать необязательно, так как на практике такого рода указаниями обычно не пользуются.
Методические указания
Для изучения темы «Геометрические построения» в VI классе средней общеобразовательной школы отводится 14 ч.
На первом уроке вводятся определения окружности, центра, радиуса, хорды окружности, диаметра. Эти понятия являются уже знакомыми для учащихся. Представляется целесообразным на этом же уроке рассмотреть простейшие указания для построения алгоритмов: проведение окружностей, прямых, выбор точки из множества. После рассмотрения простейших указаний необходимо перейти к рассмотрению простейших алгоритмов.
Учащимся рекомендуется рассмотреть простейшие алгоритмы следующего вида:
1. Построить окружность с центром в точке О и радиусом 3 см.
2. Отложить на построенной окружности точку А и построить
отрезок О А.
3. Отметить на окружности две точки М и N. Провести хорду, их соединяющую.
4. Построить общую секущую к двум окружностям.
После выполнения каждого пункта учащиеся показывают свои записи и учитель вносит необходимые пояснения и коррективы.
На этом же уроке или в качестве домашнего задания рекомендуется рассмотреть алгоритмы построения к задачам 5 и 6.
На втором и третьем уроках рассматриваются понятия касательной к окружности, взаимное расположение двух окружностей, теоремы о центрах вписанной и описанной окружностей.
На этих уроках целесообразно рассмотреть указания алгоритмов, содержащие условные указания и указания перехода. Рекомендуется также использовать задания вида:
1. Провести диаметр окружности.
2. Проверить, является ли прямая касательной к окружности.
На четвертом и пятом уроках следует рассмотреть указания алгоритмов, содержащие понятия полупрямой, полуплоскости, угла, треугольника. Здесь решаются задачи, связанные с построением угла, равного данному, а также треугольника по трем заданным элементам.
На шестом, седьмом и восьмом занятиях рассматриваются вопросы: построение биссектрисы угла, деление отрезка пополам и построение перпендикулярной прямой.
При проведении этих занятий целесообразно рассмотреть алгоритм построения прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку, алгоритм построения прямой, касающейся окружности и проходящей через данную точку, и другие алгоритмы подобного типа, обращения к которым в дальнейшем можно использовать как элементарные указания.
При разработке алгоритма построения прямой, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, мы используем обращение к алгоритму 5 (построение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой).
Алгоритм 7. алг пар (т А, пр a, l)
арг А, а
рез l
нач пр b
1. b=пер (А, а)
2. l=пер (А, b)
3. стоп
кон
В приведенном алгоритме использовалась прямая b, которая не является параметром алгоритма. Указание типа для имени
b записано перед первым указанием алгоритма, после служебного слова нач.
В дальнейшем для построения прямой l, параллельной данной прямой а и проходящей через данную точку А, можно использовать обращение к алгоритму 7: l=пар (А, а).
Для проведения произвольной прямой, параллельной данной прямой а, можно использовать указание: l=пар (+,о).
Приведенные указания для использования алгоритма пар можно считать элементарными и не разбивать их на более мелкие указания.
Аналогично можно рассмотреть алгоритмы построения касательных к окружности, проходящих через данную точку.
Занятия 9—14 посвящаются вопросам: геометрическое место точек, метод геометрических мест, углы, вписанные в окружность. На этих занятиях предполагается свободное использование элементов изученной учебной графической системы при рассмотрении алгоритмов на построение.
В целом при изучении данной темы учащиеся должны усвоить основные элементарные указания алгоритмов построения на плоскости, правила и особенности их использования. При этом должна ставиться цель пропедевтики курса информатики, приобретения и развития алгоритмических навыков. У учащихся должен вырабатываться взгляд на алгоритмический язык как на совокупность средств и правил записи алгоритмов.
Межпредметные связи курсов «основы информатики и вычислительной техники» и «Математика» при выборе задач для практики по программированию.
Можно выделить три основных этапа практики:
выбор темы задачи и составление алгоритма ее решения, написание, отладка и тестирование программы, оформление и защита отчета по проделанной работе. Мы рассмотрим здесь первый этап работы.
1. Прикладная направленность. Тема работы должна отражать реальную ситуацию, возникающую в научно-технической практике применения ЭВМ. Разумеется, уровень сложности при этом должен соответствовать возможностям школьника.
2. Математическое моделирование. Работа должна содержать составление математической модели изучаемого явления, включая такие вопросы, как сравнение различных моделей и выбор более эффективной с учетом использования компьютера.
3. Использование межпредметных связей. Работа должна опираться на знания и умения, полученные школьниками на других уроках как физико-математического, так и естественного, а возможно, и гуманитарного цикла.