Дискретные сигналы (стр. 1 из 2)
А. Т. Бизин
Сибирская Государственная Академия телекоммуникаций и информатики
Новосибирск 1998 г.
Дискретизация непрерывных сигналов
Обработка сигналов на цифровых ЭВМ начинается с замены непрерывного сигнала X(t) на дискретную последовательность, для которой применяются такие обозначения
x(nT) , x(n) , xn , {x0 ; x1 ; x2 ; … } .
Дискретизация осуществляется электронным ключом (ЭК) через равные интервалы времени T (Рис. 1.1).
Дискретная последовательность аппроксимирует исходный сигнал X(t) в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шаг дискретизации T связаны формулой
fд = 1 / T . (1.1)
Дискретная последовательность или дискретный сигнал выражается через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом
x(nT) = x(t)
d(t - nT) , (1.2)где d(t) - дискретная d - функция (Рис. 1.2, а),
d(t - nT) - последовательность d - функций (Рис. 1.2, б). 
Погрешность, возникающую при замене аналогового сигнала дискретным сигналом, удобно оценить сравнивая спектры этих сигналов.
Связь спектров дискретного и непрерывного сигналов.
Исходное выражение для спектра дискретного сигнала с учетом (1.2) запишется следующим образом
X(jw) =
x(nT) e-jwt dt = x(t) 
d(t - nT) e-jwt dt .Периодическую последовательность d - функций здесь можно разложить в ряд Фурье
d(t - nT) = 
,где с учетом формулы связи спектров периодического и непериодического сигналов
, поскольку Fd(jw) = 1После замены в исходном выражении периодической последовательности d - функций ее разложением в ряд Фурье получим
X(jw) =
x(t)( 
) e-jwt dt = 
x(t) 
e-jwt dt .Учитывая здесь теорему смещения спектров, т.е. :
если f(t) ® F(jw), то f(t)
® F[j(w±w0)] ,последнее равенство можно представить в виде формулы, выражающей связь спектров дискретного X(jw) и аналогового Xa(jw) сигналов
X(jw) =
Xa[j(w - 
)] . (1.3)На основании формулы (1.3) с учетом поясняющих рисунков 1.3, а, б можно сделать следующие выводы :
Спектр дискретного сигнала состоит из суммы спектров исходного непрерывного сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот на величину равную частоте дискретизации wд
Спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают в диапазоне частот [-0,5wд ; 0,5wд], если удовлетворяется неравенство
wвЈ 0,5wд , (1.4)
где wв - верхняя частота спектра аналогового сигнала.
Равенство в (1.4) соответствует утверждению теоремы Котельникова о минимальной частоте wд.
Смежные спектры Xa(jw) в (1.3) частично перекрываются, если условие (1.4) не выполняется (Рис 1.3, б). В этом случае спектр дискретного сигнала искажается по отношению к спектру аналогового сигнала. Эти искажения являются неустранимыми и называются ошибками наложения.
Аналоговый сигнал можно восстановить полностью по дискретному сигналу с помощью ФНЧ, частота среза которого wс = 0,5wд. Это утверждение основано но совпадении спектров дискретного сигнала на выходе ФНЧ и непрерывного сигнала. Сигнал восстанавливается без искажений, если выполняется условие (1.4). в противном случае сигнал восстанавливается с искажениями, обусловленными ошибками наложения.
Выбор частоты дискретизации осуществляется в соответствии с (1.4). если частота wв не известна, то выбор из wд определяется расчетом по формуле (1.1), в которой интервал T выбирается приближенно с таким расчетом, чтобы аналоговый сигнал восстанавливался без заметных искажений плавным соединением отсчетов дискретного сигнала.
Преобразование Фурье и Лапласа для дискретных сигналов.
Для дискретных сигналов формулы Фурье и Лапласа представляется возможным упростить. Действительно, поскольку
то после перехода к дискретной переменной пара преобразований Фурье принимает вид
Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.
Формулы Фурье для дискретных сигналов применяются в нормированном виде, поэтому после замены X(nT) ® X(nT) / T преобразование Фурье принимает окончательный вид
(1.5)Формулы Лапласа для дискретных сигналов получаются на основании (1.5) после обобщения частоты на всю плоскость комплексного переменного, то есть jw® P = d + jw
(1.6)Z - преобразование.
Эффективность частотного анализа дискретных сигналов существенно возрастает, если заменить преобразование Лапласа Z - преобразованием. В этом случае изображение сигнала X(p), которое представляет собой трансцендентную функцию переменной P = d + jw, заменяется Z - изображением сигнала X(Z), которое является рациональной функцией переменной Z = x + jy.
Формулы Z - преобразования получаются из формулы Лапласа (1.6) заменой переменных
epT = Z . (1.7)
Подстановка (1.7) и ее производной
dZ / dp = TepT
в (1.6) приводит к формулам прямого и обратного Z - преобразования
(1.8)Точки на мнимой оси комплексного переменного p = d +jw, то есть точки p = jw, определяют реально частотные характеристики сигнала. Мнимой оси соответствует на плоскости Z единичная окружность, так как в этом случае согласно (1.7)
Z = ejwT =
(1.9)Поэтому непрерывному росту переменной на мнимой оси плоскости p = d + jw, соответствует многократный обход единичной окружности на плоскости z = x + jy (Рис. 1.4). Этим фактом объясняется, в частности, то обстоятельство, что интегрирование в формуле обратного z - преобразования (1.8) осуществляется вдоль единичной окружности плоскости z взамен интегрирования вдоль прямой параллельной мнимой плоскости p.
Учитывая вышеизложенное и формулы (1.7), (1.9) можно утверждать, что левая полуплоскость переменного p = d + jw отображается на плоскость единичного круга переменного z = x + jy, правая полуплоскость - на плоскость z за пределами единичного круга.
Подстановка (1.9) в z - изображение сигнала приводит к спектру этого сигнала, подстановка (1.7) дает изображение по Лапласу.
Пример. Определить спектр и построить графики модуля и аргумента спектральной плотности сигнала x(nT) = {a ; b} (Рис. 1.5, а).
Решение.
Z - изображение сигнала согласно (1.8)
X(Z) =
x(nT) Z-n = x(0T) Z-0 + x(1T) Z-1 = a + bZ-1Отсюда подстановкой (1.9) определяем спектр сигнала
X(jw) = a + be-jwT.
Графики модуля и аргумента спектральной плотности приведены на рисунке 1.6, а, б на интервале частот [0 ; wд].
Вне интервала частот [0 ; wд] частотные зависимости повторяются с периодом wд.
Основные теоремы Z - преобразования.
Перечислим без доказательства теоремы z - преобразования, которые потребуются в последующих разделах.
1. Теорема линейности.
Если x(nT) = ax1(nT) + bx2(nT) ,
то X(Z) = a X1(Z) + bX2(Z).
Теорема запаздывания.
Если x(nT) = x1(nT - QT) ,
то X(Z) = X1(Z) Z-Q.
Теорема о свертке сигналов.
Если X(nT) =
x1(kT) x2(nT - kT) ,то X(Z) = X1(Z) X2(Z).
Теорема об умножении сигналов.
Если x(nT) = x1(nT) x2(nT) ,
то X(Z) =
X1(V) X2( 
) V-1 dV,где V, Z - переменные на плоскости Z.
Теорема энергий (равенство Парсеваля).
x2(nT) = X(Z) X(Z-1) Z-1 dZ.