Теория распределения информации (стр. 1 из 3)

Курсовая работа

Министерство науки и высшего образования Республики Казахстан

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра Автоматической электросвязи

г. Алматы, 1999 г.

Задание 1.

Построить огибающую распределения вероятности занятия линии в пучке из V, на каждую из которых поступает интенсивность нагрузкиа при условии, что:

а) N >> V; б) N

V; в) N, V

Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

;

целая часть полученного числа, где NN– номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

а = 0,2+0,01 * NN

Примечания:

Для огибающей распределения привести таблицу в виде:

Р(i)

В распределении Пуассона привести шесть – восемь составляющих, включая значение вероятности для i =

(целая часть А)

А = а * V

Решение:

Случайной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое то определенное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые наперед предугадать невозможно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретная случайная величина определяется распределением вероятностей, непрерывная случайная величина – функцией распределения основными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Определим исходные данные для расчета:

a = 0.2 + 0.01 * 11 = 0.31 Эрл (средняя интенсивность нагрузки)

А = а * V = 0,31 * 11 = 3,41 » 4 Эрл (нагрузка)

а) Определим вероятности занятия линий в пучке из V = 11, при условии N >> V (N– число источников нагрузки).

Для этого используем распределение Эрланга, представляющее собой усеченное распределение Пуассона, в котором взяты первые V+1 значения и пронумерованы так, чтобы сумма вероятностей была равна единице.

Распределение Эрланга имеет вид:

P_i(V) =

где P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V.

Для определения составляющих распределения Эрланга можно применить следующее реккурентное соотношение:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

где P_v–вероятность занятости всех линий в пучке из V.

Произведем расчет:

Р₀=

Р₁= Р₀*

= 0,072 Р₂= Р₁*

= 0,144

Р₃= Р₂*

= 0,192 Р₄= Р₃*

= 0,192

Р₅= Р₄*

= 0,153 Р₆= Р₅*

= 0,102

Р₇= Р₆*

= 0,058 Р₈= Р₇*

= 0,029

Р₉= Р₈*

= 0,012 Р₁₀= Р₉*

= 4,8 * 10^-3

Р₁₁= Р₁₀*

= 1,7 * 10^-3

M( i ) = 4 * (1 - 1,7 * 10^-3) = 3,99

D( i ) = 3,99 – 4 * 1,7 * 10^-3* (11 – 3,99) = 3,94

Данные результаты вычислений сведем в таблицу 1:

Таблица1

P( i )	0,018	0,072	0,144	0,192	0,192	0,153	0,102	0,058	0,029	0,012	0,0048	0,0017
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

б) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11, при условии N@V. Применим распределение Бернулли (биноминальное распределение), которое имеет вид:

где: P_i(V) – вероятность занятия любых i линий в пучке из V;

- число сочетаний из V по i (i = 0, V)

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию

V-линейного пучка от N источников.

Для вычисления вероятностей можно воспользоваться следующей рекурентной формулой:

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий соответственно равны:

M( i ) = V*a; D( i ) = V * a * (1-a)

Произведем расчет:

;

Р₁ = 16,8*10^-3*

Р₂ = 16,8*10^-3*

Р₃ = 16,8*10^-3*

Р₄ = 16,8*10^-3*

Р₅ = 16,8*10^-3*

Р₆ = 16,8*10^-3*

Р₇ = 16,8*10^-3*

Р₈ = 16,8*10^-3*

Р₉ = 16,8*10^-3*

Р₁₀ = 16,8*10^-3*

Р₁₁ = 16,8*10^-3*

M( i ) = 11 * 0,31 = 3,41; D( i ) = 11 * 0,31 * (1 – 0,31) = 2,35

Результаты вычислений сведем в таблицу 2:

Таблица2

P(i)*10^-3	16,8	82,3	37,7	22,6	15	10	7,5	5,3	3,7	2,5	1,5	0,6
i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11

в) Определим вероятность занятия линий в пучке из V=11 , при условии N,V®¥.

Используем распределение Пуассона, как вероятность занятия i линий в бесконечном пучке линий за промежуток времени t:

где: l - параметр потока, выз/час

lt – средняя интенсивность нагрузки поступающей на пучок линий (А=lt).

Легко показать, что:

Произведем расчет:

Р₀=

* е^-4 = 0,018 Р₁ = 0,018 *

= 0,036

Р₄ =

* 0,018 = 0,192 Р₆ = 0,018 *

= 0,102

Р₈ = 0,018 *

= 0,029 Р₁₀ = 0,018 *

= 0,0052

Р₁₂ = 0,018 *

= 0,0006

M( i ) = D( i ) = 4

Результаты вычислений сведем в таблицу 3:

Таблица3

P( i )	0.018	0.036	0.192	0.102	0.029	0.0052	0.0006
i	0	1	4	6	8	10	12

По данным таблиц 1, 2, 3 построим графики огибающей вероятности для трех случаев: а) N>>V, б) N@V, в) N, V ®¥ ; рис. 1.

Задание 2.

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью А.

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за промежуток времени [ 0, t^*]:

Р_к(t^*), где t^*= 0,5; 1,0; 1,5; 2,0

Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов:

F(t^*), t^* = 0; 0,1; 0,2; …

Рассчитать вероятность поступления не менее к вызовов за интервал времени [ 0, t^*]: