Межпредметные связи в высшей школе: математическоеобеспечение курса аналитической химии
В.И. Вершинин, С.В. Усова, Омский государственный университет,кафедра аналитической химии и химии нефти
Для оптимизации подготовки специалистов важно выявить межпредметные связи (МПС) и учесть их профессиональную направленность при отборе содержания учебных дисциплин. Такой подход для педагогики высшей школы является нетривиальным, а его возможности мало изучены. В данной работе, выполненной по программе "Университеты России - фундаментальные исследования" (направление 10.11), в качестве примера рассматривается связь курсов аналитической химии (АХ) и высшей математики (ВМ). Выбор связан с тем, что при подготовке химиков АХ является типичной общепрофессиональной, а ВМ - важнейшей общеобразовательной дисциплиной естественно-научного блока. В нашу задачу входило: а) выявить те разделы математики (методы, понятия, умения и навыки), которые необходимы и достаточны студенту для освоения программы АХ на требуемом уровне; б) на этой основе дать рекомендации для уточнения программ и методов преподавания обеих дисциплин.
Характеристика курсов и методика исследования. В соответствии с госстандартом специальности 011000 - Химия курс АХ является общепрофессиональной дисциплиной с трудоемкостью 500 часов [1]. В классических университетах АХ обычно изучают в 3 и 4 семестрах в объеме 300-400 аудиторных часов (в ОмГУ - 369 при 86 лекционных). В разных университетах меняется не столько перечень разделов курса, сколько доля часов, выделяемых на изучение каждого раздела [2], при этом используются одни и те же учебники. Программа модернизируется раз в 5-10 лет без существенного изменения содержания.
Курс ВМ изучается студентами-химиками в 1-2 семестрах (т. е. до АХ) в объеме 200-300 аудиторных часов. В ОмГУ на него отведено 278 часов, в том числе 130 лекционных. Типовая программа курса ВМ [3], к сожалению, не профилизирована и фактически является урезанным вариантом курса ВМ для математиков. Это неоднократно вызывало предложения по изменению структуры математической подготовки в целом и/или содержания курса ВМ [4]. Однако анкетирование вузов показало, что содержание курса ВМ на химических факультетах классических университетов однотипно и стабильно. Таким образом, обе исследуемые учебные дисциплины являются "устоявшимися", что и позволяет анализировать МПС на программном уровне.
Методика исследования заключалась в рассмотрении рабочих программ и содержания учебников по АХ (например, [6-8]). Для каждого раздела выделяли необходимый математический аппарат (набор методов, понятий и т.п.).
Таблица 1. Связи между основными разделами курсов АХ (строки) и ВМ (столбцы)
| Раздел | А | Б | В | Г | Д | Е | Ж | З | И | Дополнение |
| 1 | + | + | + | + | Теория информации, экстраполяция и интерполяция, статистические веса | |||||
| 2 | + | + | Проверка однородности дисперсий | |||||||
| 3 | + | + | + | Алгебраические уравнений (n>2) | ||||||
| 4 | + | Связь ошибок 1 и 2 рода для гипотез | ||||||||
| 5 | + | + | + | Решение степенных уравнений | ||||||
| 6 | + | + | + | Методы оптимизаций | ||||||
| 7 | + | Методы линеаризации | ||||||||
| 8 | + | + | ||||||||
| 9 | + | + | Методы линеаризации | |||||||
| 10 | + | + | + | + | + | Решение систем уравнений, матрицы | ||||
| 11 | + | + | + | Симплекс, поверхность отклика, приемы устранения шумов и помех |
Разделы курса АХ взяты в соответствии с программой [5]. В таблице связи между родственными разделами обоих курсов отмечены знаком (+). Например, изучая в курсе АХ раздел "Кинетические методы анализа", студент должен иметь представление о дифференциальных уравнениях (они описывают кинетику индикаторных реакций) и уметь решать их. Этому соответствует знак (+) на пересечении строки 8 и столбца Ж. Можно дать и более подробную характеристику межпредметных связей - на уровне подразделов и примеров, а также перечни методов и понятий, но в настоящей статье такие детали вряд ли целесообразны.
В таблице цифрами обозначены следующие разделы курса АХ: 1 - метрологические основы химического анализа; 2 - теория и практика пробоотбора; 3 - типы реакций и процессов в АХ, в том числе описание равновесий; 4 - методы обнаружения и идентификации; 5 - методы выделения, разделения и концентрирования (кроме хроматографии); 6 - хроматографический анализ; 7 - титриметрические методы; 8 - кинетические методы; 9 - электрохимические методы; 10 - оптические методы; 11 - автоматизация анализа и использование ЭВМ. Разделы курса ВМ обозначены буквами: А - аналитическая геометрия; Б - алгебра; В - функции и пределы; Г - производные и дифференциалы, дифференциальное исчисление; Д - интегралы и интегральное исчисление; Е - ряды; Ж - дифференциальные уравнения и их решение; З - основы теории вероятностей; И - элементы матстатистики и теории измерений.
Результаты и их анализ. Как видно из таблицы, курс АХ в достаточно большой степени матема- тизирован (из общепрофессиональных химических дисциплин он уступает в этом отношении только курсам квантовой и физической химии). Студенты-химики пользуются аппаратом теории вероятностей и математической статистики, классической алгеброй; они должны знать начала математического анализа и уметь решать несложные дифференциальные уравнения. В значительно меньшей степени используются ряды (для объяснения Фурье-спектроскопии и для вывода некоторых приближенных формул) и представления аналитической геометрии. Математического багажа, полученного студентами при изучении ВМ, в основном хватает для освоения программы общего курса АХ (в отличие от квантовой химии или спецкурсов).
Однако некоторыми важными для курса АХ математическими методами, понятиями и практическими умениями студенты не владеют, так как они не включены в типовую и рабочие программы курса ВМ. Некоторые примеры указаны в таблице в графе "Дополнения", в основном они относятся к алгебре и математической статистике. Например, в разделе 3 для обоснованного выбора условий маскирования требуется умение решать алгебраические уравнения высоких степеней (вплоть до n = 8). Для расчета результатов потенциометрического титрования (разделы 7 и 9) придется проводить линеаризацию кривых титрования, а в других случаях (разделы 9 и 10) - линеаризацию, интерполяцию и экстраполяцию градуировочных графиков. Для сопоставления результатов анализа между собой и с нормативными документами потребуется овладеть методами статистической проверки гипотез, учитывая взаимосвязь ошибок 1 и 2 рода. Изучение соответствующего материала в типовой программе курса ВМ не предусмотрено и должно быть учтено при ее пересмотре, а до тех пор - при формировании рабочих программ в каждом вузе. Отметим, что простого включения материала в программу недостаточно. Так, студенты получают на первом курсе теоретические сведения по методам поиска экстремумов и решению дифференциальных уравнений, но обучение не доводится до умения выполнять такие операции в ходе решения химических задач, когда они должны выступать в роли общеучебных умений.
С другой стороны, идеи тензорного исчисления, понятия оператора, группы и представления, аппарат интегрального исчисления функций нескольких переменных и некоторые другие разделы курса ВМ (в таблице не указаны) совсем не связаны с курсом АХ. Вероятно, они связаны с другими химическими дисциплинами или не связаны с химией вообще, а остаются в программе по другим соображениям. Естественно, для окончательного вывода о целесообразности изучения тех или иных разделов общеобразовательных дисциплин нужен комплексный анализ МПС со всеми общепрофессиональными и специальными дисциплинами (а не с одной АХ), а также учет фундаментальной и мировоззренческой значимости соответствующих разделов [9]. Такой комплексный анализ МПС, проведенный в ОмГУ в 1998 г. и включающий настоящее исследование в качестве одного из разделов, позволил выработать проект новой типовой программы курса ВМ для химиков [10].
Следует отметить, что целый ряд разделов курса АХ (в таблицу они не включены), судя по содержанию учебников, вовсе не требует знания высшей математики. Например, только на "школьную" математику опираются разделы "Гравиметрический анализ", "Основные объекты анализа", "Методы рентгеновской спектроскопии" и др., а также большинство подразделов из указанных в таблице разделов. Наши подсчеты показывают, что методы высшей математики могут использоваться при изучении материала, составляющего в курсе АХ около третьей части его содержания, хотя в научных исследованиях они применяются постоянно и практически всеми аналитиками. Такое "отставание" учебного курса от уровня математизации соответствующей науки представляется нежелательным, но терпимым.
Однако в некоторых случаях такое отставание доходит до недопустимой степени. В частности, анализ 14 изданных в 1970-1990-е годы отечественных задачников по АХ показывает, что типовые решения всех задач содержат лишь операции элементарной математики (арифметические действия с учетом правил округления, логарифмирование, потенциирование, действия со степенями, решение квадратных уравнений). Производные и интегралы не используются, даже если бы это существенно упростило или уточнило решение. Чтобы уйти от математических сложностей, во многих задачниках (и даже в некоторых учебниках) рекомендуются грубые упрощения; например, пренебрежение ступенчатым характером комплексообразования, хотя это может привести к совершенно ошибочным ответам. При этом алгоритмы точного решения в учебниках описываются, а необходимый математический аппарат студентам известен. По-видимому, если упрощенный вариант решения невозможен, задачи соответствующих типов в задачник не попадают. Однако задачи, для решения которых требуется аппарат ВМ, наши студенты должны решать обязательно, иначе треть учебного материала по АХ останется без необходимых упражнений и иллюстраций. Для экономии времени и обеспечения точности расчетов на занятиях по АХ следует использовать компьютеры и специфическое программное обеспечение так же широко, как сегодня используются микрокалькуляторы. Очевидно, при составлении задачников нового поколения, а также при организации расчетных занятий по курсу АХ должны учитываться возможность и необходимость решения нестандартных (в частности, усложненных в математическом отношении) расчетных задач